La inestabilidad elástica es una forma de inestabilidad que ocurre en los sistemas elásticos, como el pandeo de vigas y placas sujetas a grandes cargas de compresión.
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Hay muchas formas de estudiar este tipo de inestabilidad. Uno de ellos es utilizar el método de deformaciones incrementales basado en superponer una pequeña perturbación sobre una solución de equilibrio.
Sistemas de grado único de libertad
Considere como un ejemplo simple una viga rígida de longitud L , articulada en un extremo y libre en el otro, y que tiene un resorte angular unido al extremo articulado. La viga se carga en el extremo libre por una fuerza F que actúa en la dirección axial de compresión de la viga, ver la figura de la derecha.
Condición de equilibrio de momento
Suponiendo una deflexión angular en el sentido de las agujas del reloj , el momento en el sentido de las agujas del reloj ejercido por la fuerza se convierte en. La ecuación de equilibrio de momentos está dada por
dónde es la constante de resorte del resorte angular (Nm / radianes). Asumiendoes lo suficientemente pequeño, implementando la expansión de Taylor de la función seno y manteniendo los dos primeros términos produce
que tiene tres soluciones, la trivial , y
que es imaginario (es decir, no físico) paray real de otra manera. Esto implica que para pequeñas fuerzas de compresión, el único estado de equilibrio está dado por, mientras que si la fuerza supera el valor De repente, es posible otro modo de deformación.
Método de energía
Se puede obtener el mismo resultado considerando las relaciones energéticas . La energía almacenada en el resorte angular es
y el trabajo realizado por la fuerza es simplemente la fuerza multiplicada por el desplazamiento vertical del extremo de la viga, que es . Por lo tanto,
La condición de equilibrio energético ahora rinde como antes (además de lo trivial ).
Estabilidad de las soluciones
Alguna solución es estable si un pequeño cambio en el ángulo de deformaciónda como resultado un momento de reacción que intenta restaurar el ángulo de deformación original. El momento neto en el sentido de las agujas del reloj que actúa sobre la viga es
Un cambio infinitesimal en el sentido de las agujas del reloj del ángulo de deformación resultados en un momento
que se puede reescribir como
desde debido a la condición de equilibrio de momento. Ahora una solucion es estable si un cambio en el sentido de las agujas del reloj resulta en un cambio de momento negativo y viceversa. Por lo tanto, la condición para la estabilidad se convierte en
La solución es estable solo para , que se espera. Al expandir el término coseno en la ecuación, se obtiene la condición de estabilidad aproximada:
por , que satisfacen las otras dos soluciones. Por tanto, estas soluciones son estables.
Múltiples grados de sistemas de libertad
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/6/66/Elastic_instability_2DOF.png/220px-Elastic_instability_2DOF.png)
Uniendo otra viga rígida al sistema original por medio de un resorte angular se obtiene un sistema de dos grados de libertad. Suponga por simplicidad que las longitudes de las vigas y los resortes angulares son iguales. Las condiciones de equilibrio se vuelven
dónde y son los ángulos de los dos haces. Linealización asumiendo que estos ángulos son pequeños rendimientos
Las soluciones no triviales del sistema se obtienen al encontrar las raíces del determinante de la matriz del sistema , es decir, para
Así, para los dos grados de libertad del sistema hay dos valores críticos para la fuerza aplicada F . Estos corresponden a dos modos diferentes de deformación que se pueden calcular a partir del espacio nulo de la matriz del sistema. Dividiendo las ecuaciones por rendimientos
Para la fuerza crítica más baja, la relación es positiva y las dos vigas se desvían en la misma dirección mientras que para la fuerza más alta forman una forma de "banana". Estos dos estados de deformación representan las formas del modo de pandeo del sistema.
Ver también
Otras lecturas
- Teoría de la estabilidad elástica , S. Timoshenko y J. Gere