Curva elíptica
En matemáticas , una curva elíptica es una alisar , proyectiva , curva algebraica de género uno, en el que hay un punto especificado O . Una curva elíptica se define sobre un campo K y describe puntos en K 2 , el producto cartesiano de K consigo mismo. Si la característica del campo es diferente de 2 y 3, entonces la curva se puede describir como una curva algebraica plana que, después de un cambio lineal de variables, consta de soluciones ( x , y ) para:
para algunos coeficientes a y b en K . Se requiere que la curva no sea singular , lo que significa que la curva no tiene cúspides ni autointersecciones . (Esto es equivalente a la condición ). Siempre se entiende que la curva está realmente asentada en el plano proyectivo , siendo el punto O el único punto en el infinito . Muchas fuentes definen una curva elíptica como simplemente una curva dada por una ecuación de esta forma. (Cuando el campo del coeficiente tiene la característica 2 o 3, la ecuación anterior no es lo suficientemente general como para incluir todas las curvas cúbicas no singulares; ver § Curvas elípticas sobre un campo general a continuación.)
Una curva elíptica es una variedad abeliana , es decir, tiene una ley de grupo definida algebraicamente, con respecto a la cual es un grupo abeliano , y O sirve como elemento de identidad.
Si y 2 = P ( x ), donde P es cualquier polinomio de grado tres en x sin raíces repetidas, el conjunto solución es una curva plana no singular del género uno, una curva elíptica. Si P tiene grado cuatro y está libre de cuadrados, esta ecuación describe nuevamente una curva plana del género uno; sin embargo, no tiene una elección natural de elemento de identidad. De manera más general, cualquier curva algebraica del género uno, por ejemplo, la intersección de dos superficies cuádricas incrustadas en un espacio proyectivo tridimensional, se denomina curva elíptica, siempre que esté equipada con un punto marcado para actuar como identidad.
Usando la teoría de funciones elípticas , se puede demostrar que las curvas elípticas definidas sobre los números complejos corresponden a incrustaciones del toro en el plano proyectivo complejo . El toro también es un grupo abeliano , y esta correspondencia es también un isomorfismo de grupo .
Las curvas elípticas son especialmente importantes en la teoría de números y constituyen un área importante de investigación actual; por ejemplo, se usaron en la prueba de Andrew Wiles del último teorema de Fermat . También encuentran aplicaciones en criptografía de curva elíptica (ECC) y factorización de enteros .
