En matemáticas , género (plural géneros ) tiene unos pocos diferente, pero estrechamente relacionados, significados. El concepto más común, el género de una superficie ( orientable ) , es el número de "agujeros" que tiene, de modo que una esfera tiene el género 0 y un toro tiene el género 1.
Topología
Superficies orientables
El género de una superficie orientable conectada es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se cruzan sin desconectar el colector resultante . [1] Es igual al número de asas que tiene. Alternativamente, se puede definir en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ = 2 - 2 g para superficies cerradas , donde g es el género. Para superficies con b componentes de contorno , la ecuación dice χ = 2 - 2 g - b . En términos simples, es el número de "agujeros" que tiene un objeto ("agujeros" interpretados en el sentido de agujeros de rosquilla; una esfera hueca se consideraría que tiene cero agujeros en este sentido). Una rosquilla, o toro, tiene 1 de esos orificios, mientras que una esfera tiene 0. La superficie verde que se muestra arriba tiene 2 orificios del tipo correspondiente.
Por ejemplo:
- La esfera S 2 y un disco tienen ambos género cero.
- Un toro tiene el género uno, al igual que la superficie de una taza de café con asa. Esta es la fuente de la broma "los topólogos son personas que no pueden distinguir su rosquilla de su taza de café".
En el artículo sobre el polígono fundamental se da una construcción explícita de superficies del género g .
género 0
género 1
género 2
género 3
En términos más simples, el valor del género de una superficie orientable es igual al número de "agujeros" que tiene. [2]
Superficies no orientables
El género no orientable , demigenus o género Euler de una superficie cerrada no orientable conectada es un número entero positivo que representa el número de casquillos cruzados unidos a una esfera . Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ, mediante la relación χ = 2 - k , donde k es el género no orientable.
Por ejemplo:
- Un plano proyectivo real tiene un género uno no orientable.
- Una botella de Klein tiene un género dos no orientable.
Nudo
El género de un nudo K se define como el género mínimas de todo Seifert superficies para K . [3] Una superficie Seifert de un nudo es, sin embargo, una variedad con límite , siendo el límite el nudo, es decir, homeomorfo al círculo unitario. El género de tal superficie se define como el género de dos variedades, que se obtiene pegando el disco unitario a lo largo del límite.
Cuerpo
El género de un mango tridimensional es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de los discos incrustados sin desconectar el colector resultante. Es igual al número de asas que tiene.
Por ejemplo:
- Una pelota tiene género cero.
- Un toro sólido D 2 × S 1 tiene género uno.
Teoría de grafos
El género de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con n asas (es decir, una superficie orientada del género n ). Por lo tanto, un gráfico plano tiene género 0, porque se puede dibujar en una esfera sin autocruzamiento.
El género no orientable de un gráfico es el número entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse sobre una esfera con n cruces (es decir, una superficie no orientable del género (no orientable) n ). (Este número también se llama demigenus ).
El género Euler es el número entero mínimo n tal que el gráfico se puede dibujar sin cruzarse en una esfera con n cruces o en una esfera con n / 2 asas. [4]
En la teoría de grafos topológicos existen varias definiciones del género de un grupo . Arthur T. White introdujo el siguiente concepto. El género de un grupo G es el género mínimos de un (no dirigido conectado,) gráfico de Cayley para G .
Geometría algebraica
Hay dos definiciones relacionadas de género de cualquier esquema algebraico proyectivo X : el género aritmético y el género geométrico . [6] Cuando X es una curva algebraica con un campo de definición de números complejos , y si X no tiene puntos singulares , entonces estas definiciones concuerdan y coinciden con la definición topológica aplicada a la superficie de Riemann de X (su variedad de puntos complejos). Por ejemplo, la definición de curva elíptica a partir de la geometría algebraica está conectada a la curva proyectiva no singular del género 1 con un punto racional dado en ella .
Según el teorema de Riemann-Roch , una curva plana irreducible de grado dado por el lugar de desaparición de una sección tiene género geométrico
donde s es el número de singularidades cuando se cuenta correctamente.
Biología
El género también se puede calcular para el gráfico abarcado por la red de interacciones químicas en ácidos nucleicos o proteínas. En particular, se puede estudiar el crecimiento del género a lo largo de la cadena. Tal función (llamada traza de género) muestra la complejidad topológica y la estructura de dominio de las biomoléculas. [7]
Ver también
- Grupo (matemáticas)
- Género aritmético
- Género geométrico
- Género de una secuencia multiplicativa
- Género de forma cuadrática
- Género Spinor
Referencias
- ^ Munkres, James R. Topología. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.
- ^ Weisstein, EW "Género" . MathWorld . Consultado el 4 de junio de 2021 .
- ^ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3678-1
- ^ Gráficos sobre superficies .
- ^ Thomassen, Carsten (1989). "El problema del género gráfico es NP-completo". Revista de algoritmos . 10 (4): 568–576. doi : 10.1016 / 0196-6774 (89) 90006-0 . ISSN 0196-6774 . Zbl 0689.68071 .
- ^ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Métodos topológicos en geometría algebraica . Clásicos de las matemáticas. Traducción del alemán y apéndice uno de RLE Schwarzenberger. Apéndice dos de A. Borel (Reimpresión de la 2ª, corrección. De la 3ª ed.). Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009 .
- ^ Sułkowski, Piotr; Sulkowska, Joanna I .; Dabrowski-Tumanski, Pawel; Andersen, Ebbe Sloth; Geary, Cody; Zając, Sebastián (3 de diciembre de 2018). "La traza del género revela la complejidad topológica y la estructura del dominio de las biomoléculas" . Informes científicos . 8 (1): 17537. doi : 10.1038 / s41598-018-35557-3 . ISSN 2045-2322 . PMC 6277428 . PMID 30510290 .