En álgebra abstracta , un primer asociado de un módulo M sobre un anillo R es un tipo de ideal primo de R que surge como un aniquilador de un submódulo (prime) de M . El conjunto de primos asociados generalmente se denota porya veces llamado asesino o asesino de M (juego de palabras entre la notación y el hecho de que un primo asociado es un aniquilador ). [1]
En álgebra conmutativa , los números primos asociados están vinculados a la descomposición primaria de ideales de Lasker-Noether en anillos conmutativos noetherianos . Específicamente, si un ideal J se descompone como una intersección finita de ideales primarios , los radicales de estos ideales primarios son ideales primos , y este conjunto de ideales coincide primos con[2] También vinculadas con el concepto de "primos asociados" del ideal están las nociones de primos aislados y primos incrustados .
Definiciones
Un módulo R distinto de cero N se denomina módulo principal si el aniquiladorpara cualquier submódulo N ' de N distinto de cero . Para un módulo principal N ,es un ideal primo en R . [3]
Un primo asociado de un módulo R M es un ideal de la formadonde N es un submódulo principal de M . En álgebra conmutativa, la definición habitual es diferente, pero equivalente: [4] si R es conmutativa, un primo asociado P de M es un ideal primo de la formapara un elemento m distinto de cero de M o equivalentementees isomorfo a un submódulo de M .
En un anillo conmutativo R , los elementos mínimos en(con respecto a la inclusión de la teoría de conjuntos) se denominan primos aislados, mientras que el resto de los primos asociados (es decir, los que contienen correctamente los primos asociados) se denominan primos incrustados .
Un módulo se llama coprimario si xm = 0 para algún m distinto de cero ∈ M implica x n M = 0 para algún entero positivo n . Un módulo M generado finitamente distinto de cero sobre un anillo noetheriano conmutativo es coprimario si y solo si tiene exactamente un primo asociado. Un submódulo N de M se llama P -primario sies coprimario con P . Un ideal I es un P - ideal primario si y solo si; por tanto, la noción es una generalización de un ideal primario.
Propiedades
La mayoría de estas propiedades y afirmaciones se dan en ( Lam 2001 ) a partir de la página 86.
- Si M ' ⊆ M , entoncesSi además M ' es un submódulo esencial de M , sus primos asociados coinciden.
- Es posible, incluso para un anillo local conmutativo, que el conjunto de números primos asociados de un módulo generado finitamente esté vacío. Sin embargo, en cualquier anillo que satisfaga la condición de cadena ascendente en ideales (por ejemplo, cualquier anillo noetheriano derecho o izquierdo), cada módulo distinto de cero tiene al menos un número primo asociado.
- Cualquier módulo uniforme tiene cero o uno primos asociados, lo que hace que los módulos uniformes sean un ejemplo de módulos coprimarios.
- Para un anillo noetheriano unilateral, hay una sobreyección del conjunto de clases de isomorfismo de módulos inyectables indecomponibles en el espectro. Si R es un anillo artiniano , entonces este mapa se convierte en una biyección.
- Teorema de Matlis : para un anillo noetheriano conmutativo R , el mapa de las clases de isomorfismo de módulos inyectables indecomponibles al espectro es una biyección. Además, un conjunto completo de representantes para esas clases es dado por dónde denota el casco inyectivo yse extiende sobre los ideales primos de R .
- Para un módulo noetheriano M sobre cualquier anillo, sólo hay un número finito de números primos asociados de M .
Para el caso de los anillos noetherianos conmutativos, consulte también Descomposición primaria # Descomposición primaria a partir de números primos asociados .
Ejemplos de
- Si los principales ideales asociados de son los ideales y
- Si R es el anillo de los enteros, entonces no triviales grupos abelianos libres y no triviales grupos abelianos de orden de potencia principal son coprimarios.
- Si R es el anillo de los enteros y M un grupo abeliano finito, a continuación, los números primos asociados de M son exactamente los números primos que dividen el orden de M .
- El grupo de orden 2 es un cociente de los números enteros Z (considerado como un módulo libre sobre sí mismo), pero su asociado ideal primo (2) no es un primer asociado de Z .
Notas
Referencias
- Bourbaki, Algèbre conmutativo
- Eisenbud, David (1995), álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Matsumura, Hideyuki (1970), álgebra conmutativa