En matemáticas , un semigrupo sin elementos (el semigrupo vacío ) es un semigrupo en el que el conjunto subyacente es el conjunto vacío . Muchos autores no admiten la existencia de tal semigrupo. Para ellos, un semigrupo es, por definición, un conjunto no vacío junto con una operación binaria asociativa. [1] [2] Sin embargo, no todos los autores insisten en que el conjunto subyacente de un semigrupo no esté vacío. [3] Se puede definir lógicamente un semigrupo en el que el conjunto subyacente S está vacío. La operación binaria en el semigrupo es la función vacía de S× S a S . Esta operación satisface en vacío los axiomas de cierre y asociatividad de un semigrupo. No excluir el semigrupo vacío simplifica ciertos resultados en semigrupos. Por ejemplo, el resultado de que la intersección de dos subsemigrupos de un semigrupo T es un subsemigrupo de T se vuelve válido incluso cuando la intersección está vacía.
Cuando se define que un semigrupo tiene una estructura adicional, es posible que el problema no surja. Por ejemplo, la definición de un monoide requiere un elemento de identidad , que descarta el semigrupo vacío como monoide.
En la teoría de categorías , siempre se admite el semigrupo vacío. Es el único objeto inicial de la categoría de semigrupos.
Un semigrupo sin elemento es un semigrupo inverso , ya que la condición necesaria se satisface de forma vacía.
Ver también
Referencias
- ^ AH Clifford, GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos vol. I (segunda edición). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-0272-4
- ^ JM Howie (1976). Introducción a la teoría de los semigrupos . LMSMonographs. 7 . Prensa académica. págs. 2-3
- ^ PA Grillet (1995). Semigrupos . Prensa CRC . ISBN 978-0-8247-9662-4 págs. 3–4