En matemáticas , un semigrupo con dos elementos es un semigrupo para el que la cardinalidad del conjunto subyacente es dos. Hay exactamente cinco semigrupos no isomórficos distintos que tienen dos elementos:
- O 2 , el semigrupo nulo de orden dos,
- LO 2 y RO 2 , el semigrupo cero izquierdo de orden dos y el semigrupo cero derecho de orden dos, respectivamente,
- ({0,1}, ∧) (donde "∧" es el conectivo lógico " y "), o equivalentemente el conjunto {0,1} bajo la multiplicación: la única semirredura con dos elementos y el único semigrupo no nulo con cero de orden dos, también un monoide , y finalmente el álgebra booleana de dos elementos ,
- (Z 2 , + 2 ) (donde Z 2 = {0,1} y "+ 2 " es "módulo de adición 2"), o equivalentemente ({0,1}, ⊕) (donde "⊕" es el conectivo lógico " xor "), o equivalentemente el conjunto {−1,1} bajo multiplicación: el único grupo de orden dos.
Los semigrupos LO 2 y RO 2 son antiisomórficos . O 2 , ({0,1}, ∧) y (Z 2 , + 2 ) son conmutativos , y LO 2 y RO 2 son no conmutativos. LO 2 , RO 2 y ({0,1}, ∧) son bandas y también semigrupos inversos .
Elegir el conjunto A = {1, 2} como el conjunto subyacente que tiene dos elementos, dieciséis operaciones binarias pueden ser definidos en A . Estas operaciones se muestran en la tabla siguiente. En la tabla, una matriz de la forma
indica una operación binaria en A que tiene la siguiente tabla de Cayley .
Lista de operaciones binarias en {1, 2} | | | |
Semigrupo O 2 nulo | ≡ Semigroup ({0,1}, ) | 2 · (1 · 2) = 2, (2 · 1) · 2 = 1 | Cero izquierdo semigrupo LO 2 |
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2 · (1 · 2) = 1, (2 · 1) · 2 = 2 | Cero a la derecha semigrupo RO 2 | ≡ Grupo (Z 2 , + 2 ) | ≡ Semigroup ({0,1}, ) |
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1 · (1 · 2) = 2, (1 · 1) · 2 = 1 | ≡ Grupo (Z 2 , + 2 ) | 1 · (1 · 1) = 1, (1 · 1) · 1 = 2 | 1 · (2 · 1) = 1, (1 · 2) · 1 = 2 |
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1 · (1 · 1) = 2, (1 · 1) · 1 = 1 | 1 · (2 · 1) = 2, (1 · 2) · 1 = 1 | 1 · (1 · 2) = 2, (1 · 1) · 2 = 1 | Semigrupo O 2 nulo |
En esta tabla:
- El semigrupo ({0,1}, ) denota el semigrupo de dos elementos que contiene el elemento cero 0 y el elemento unitario 1. Las dos operaciones binarias definidas por matrices en un fondo verde son asociativas y el emparejamiento con A crea un semigrupo isomorfo al semigrupo ({0,1},). Cada elemento es idempotente en este semigrupo, por lo que es una banda . Además, es conmutativo (abeliano) y, por lo tanto, un semirretículo . El orden inducido es un orden lineal , por lo que de hecho es un retículo y también es un retículo distributivo y complementado , es decir, es en realidad el álgebra booleana de dos elementos .
- Las dos operaciones binarias definidas por matrices en un fondo azul son asociativas y el emparejamiento con A crea un semigrupo isomorfo al semigrupo nulo O 2 con dos elementos.
- La operación binaria definida por la matriz en un fondo naranja es asociativa y emparejarla con A crea un semigrupo. Este es el semigrupo del cero izquierdo LO 2 . No es conmutativo.
- La operación binaria definida por la matriz en un fondo violeta es asociativa y emparejarla con A crea un semigrupo. Este es el semigrupo cero derecho RO 2 . Tampoco es conmutativo.
- Las dos operaciones binarias definidas por matrices en un fondo rojo son asociativas y el emparejamiento con A crea un semigrupo isomorfo al grupo (Z 2 , + 2 ).
- Los ocho restantes operaciones binarias definidas por las matrices en un fondo blanco no son asociativo y por lo tanto ninguno de ellos crean un semigrupo cuando se combina con A .
La tabla de Cayley para el semigrupo ({0,1},) se da a continuación:
| 0 | 1 |
---|
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Este es el ejemplo no trivial más simple de un semigrupo que no es un grupo. Este semigrupo tiene un elemento de identidad, 1, que lo convierte en un monoide . También es conmutativo. No es un grupo porque el elemento 0 no tiene inverso, y ni siquiera es un semigrupo cancelador porque no podemos cancelar el 0 en la ecuación 1 · 0 = 0 · 0.
Este semigrupo surge en varios contextos. Por ejemplo, si elegimos 1 para que sea el valor de verdad " verdadero " y 0 para que sea el valor de verdad " falso " y la operación sea el conectivo lógico " y ", obtenemos este semigrupo en lógica . Es isomorfo al monoide {0,1} bajo multiplicación. También es isomorfo al semigrupo.
bajo multiplicación de matrices . [1]
La tabla de Cayley para el semigrupo (Z 2 , + 2 ) se muestra a continuación:
Este grupo es isomorfo al grupo cíclico Z 2 y al grupo simétrico S 2 .
Sea A el conjunto de tres elementos {1, 2, 3}. En total, se pueden definir en A un total de 3 9 = 19683 operaciones binarias diferentes . 113 de las operaciones binarias de 19683 determinan 24 semigrupos no isomórficos o 18 semigrupos no equivalentes (siendo la equivalencia isomorfismo o antiisomorfismo). [2] Con la excepción del grupo con tres elementos , cada uno de estos tiene uno (o más) de los semigrupos de dos elementos anteriores como subsemigrupos. [3] Por ejemplo, el conjunto {−1,0,1} bajo la multiplicación es un semigrupo de orden 3, y contiene tanto {0,1} como {−1,1} como subsemigrupos.
Se han desarrollado algoritmos y programas de computadora para determinar semigrupos finitos no isomórficos de un orden dado. Estos se han aplicado para determinar los semigrupos no isomórficos de orden pequeño. [3] [4] [5] El número de semigrupos no isomórficos con n elementos, para n un entero no negativo, se enumera en OEIS : A027851 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . OEIS : A001423 enumera el número de semigrupos no equivalentes y OEIS : A023814 el número de operaciones binarias asociativas, de un total de n n 2 , que determinan un semigrupo.