La expansión de Engel de un número real positivo x es la secuencia única no decreciente de enteros positivos tal que
Por ejemplo, la constante de Euler e tiene la expansión de Engel [1]
- 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
correspondiente a la serie infinita
Los números racionales tienen una expansión de Engel finita, mientras que los números irracionales tienen una expansión de Engel infinita. Si x es racional, su expansión de Engel proporciona una representación de x como una fracción egipcia . Las expansiones de Engel llevan el nombre de Friedrich Engel , quien las estudió en 1913.
Una expansión análoga a una expansión de Engel , en la que los términos alternos son negativos, se denomina expansión de Pierce .
Expansiones de Engel, fracciones continuas y Fibonacci
Kraaikamp y Wu (2004) observan que una expansión de Engel también se puede escribir como una variante ascendente de una fracción continua :
Afirman que ascendente continuó fracciones de este tipo han sido estudiados tan pronto como Fibonacci 's Liber Abaci (1202). Esta afirmación parece referirse a la notación de fracción compuesta de Fibonacci en la que una secuencia de numeradores y denominadores que comparten la misma barra de fracción representa una fracción continua ascendente:
Si tal notación tiene todos los numeradores 0 o 1, como ocurre en varios casos en Liber Abaci , el resultado es una expansión de Engel. Sin embargo, Fibonacci no parece describir la expansión de Engel como técnica general.
Algoritmo para calcular expansiones de Engel
Para encontrar la expansión de Engel de x , sea
y
dónde es la función de techo (el número entero más pequeño no menor que r ).
Si para cualquier i , detenga el algoritmo.
Funciones iteradas para calcular expansiones de Engel
Otro método equivalente es considerar el mapa [2]
y establecer
dónde
- y
Otro método equivalente, llamado expansión de Engel modificada calculada por
y
El operador de transferencia del mapa de Engel
El operador de transferencia Frobenius-Perron del mapa de Engel actúa en funciones con
desde
y la inversa del componente n-ésimo es que se encuentra resolviendo por .
Relación con el Riemann función
La transformada de Mellin del mapa está relacionada con la función zeta de Riemann por la fórmula
Ejemplo
Para encontrar la expansión de Engel de 1.175, realizamos los siguientes pasos.
Aquí termina la serie. Por lo tanto,
y la expansión de Engel de 1,175 es {1, 6, 20}.
Expansiones de Engel de números racionales
Cada número racional positivo tiene una expansión de Engel finita única. En el algoritmo para la expansión de Engel, si u i es un número racional x / y , entonces u i +1 = (- y mod x ) / y . Por lo tanto, en cada paso, el numerador de la fracción restante u i disminuye y el proceso de construcción de la expansión de Engel debe terminar en un número finito de pasos. Cada número racional también tiene una expansión infinita de Engel única: usar la identidad
el dígito final n en una expansión finita de Engel se puede reemplazar por una secuencia infinita de ( n + 1) s sin cambiar su valor. Por ejemplo,
Esto es análogo al hecho de que cualquier número racional con una representación decimal finita también tiene una representación decimal infinita (ver 0.999 ... ). Una expansión de Engel infinita en la que todos los términos son iguales es una serie geométrica .
Erdős , Rényi y Szüsz pidieron límites no triviales en la longitud de la expansión finita de Engel de un número racional x / y ; Esta pregunta fue respondida por Erdős y Shallit , quienes demostraron que el número de términos en la expansión es O ( y 1/3 + ε ) para cualquier ε> 0. [3]
Expansiones de Engel para algunas constantes conocidas
Y en general,
Puede encontrar más expansiones de Engel para constantes aquí .
Tasa de crecimiento de los términos de expansión
Los coeficientes a i de la expansión de Engel típicamente exhiben un crecimiento exponencial ; más precisamente, para casi todos los números en el intervalo (0,1], el límiteexiste y es igual a e . Sin embargo, el subconjunto del intervalo para el que este no es el caso es lo suficientemente grande como para que su dimensión de Hausdorff sea uno. [4]
La misma tasa de crecimiento típica se aplica a los términos en expansión generados por el algoritmo codicioso para las fracciones egipcias . Sin embargo, el conjunto de números reales en el intervalo (0,1) cuyas expansiones de Engel coinciden con sus expansiones codiciosas tiene medida cero, y dimensión de Hausdorff 1/2. [5]
Notas
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A028310" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A220335" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Erdős, Rényi y Szüsz (1958) ; Erdős y Shallit (1991) .
- ^ Wu (2000) . Wu acredita el resultado de que el límite casi siempre es e para Janos Galambos .
- ^ Wu (2003) .
Referencias
- Engel, F. (1913), "Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen", Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner en Marburg , págs. 190-191.
- Pierce, TA (1929), "Sobre un algoritmo y su uso en la aproximación de raíces de ecuaciones algebraicas", American Mathematical Monthly , 36 (10): 523–525, doi : 10.2307 / 2299963 , JSTOR 2299963
- Erdős, Paul ; Rényi, Alfréd ; Szüsz, Peter (1958), "Sobre las series de Engel y Sylvester" (PDF) , Ann. Univ. Sci. Budapest. Secta Eötvös. Matemáticas. , 1 : 7-32.
- Erdős, Paul ; Shallit, Jeffrey (1991), "Nuevos límites en la longitud de series finitas de Pierce y Engel", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 3 (1): 43–53, doi : 10.5802 / jtnb.41 , MR 1116100.
- Paradis, J .; Viader, P .; Bibiloni, L. (1998), "Aproximación a los irracionales cuadráticos y sus expansiones de Pierce" , Fibonacci Quarterly , 36 (2): 146-153
- Kraaikamp, Cor; Wu, Jun (2004), "Sobre una nueva expansión de fracción continua con cocientes parciales no decrecientes", Monatshefte für Mathematik , 143 (4): 285-298, doi : 10.1007 / s00605-004-0246-3.
- Wu, junio (2000), "A problem of Galambos on Engel expansions", Acta Arithmetica , 92 (4): 383–386, doi : 10.4064 / aa-92-4-383-386 , MR 1760244.
- Wu, Jun (2003), "¿Cuántos puntos tienen las mismas expansiones de Engel y Sylvester?", Journal of Number Theory , 103 (1): 16-26, doi : 10.1016 / S0022-314X (03) 00017-9 , MR 2008063.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W . "Expansión Engel" . MathWorld: un recurso web de Wolfram.