En la teoría de la comunicación cuántica , el formalismo estabilizador asistido por entrelazamiento es un método para proteger la información cuántica con la ayuda del entrelazamiento compartido entre un remitente y un receptor antes de que transmitan datos cuánticos a través de un canal de comunicación cuántica. Extiende el formalismo estándar del estabilizador al incluir el entrelazamiento compartido (Brun et al. 2006). La ventaja de los códigos estabilizadores asistidos por entrelazamiento es que el emisor puede explotar las propiedades de corrección de errores de un conjunto arbitrario de operadores Pauli . Los operadores Pauli del remitente no necesariamente tienen que formar un subgrupo abeliano deGrupo Pauli encima qubits . El remitente puede hacer un uso inteligente de sus ebits compartidos para que el estabilizador global sea abeliano y, por lo tanto, forme un código de corrección de errores cuántico válido .
Definición
Revisamos la construcción de un código asistido por entrelazamiento (Brun et al. 2006). Supongamos que hay un subgrupo no beliano de tamaño . La aplicación del teorema fundamental de la geometría simpléctica (Lema 1 en la primera referencia externa) establece que existe un conjunto mínimo de generadores independientes por con las siguientes relaciones de conmutación :
La descomposición de en el grupo electrógeno mínimo anterior determina que el código requiere ancilla qubits y ebits . El código requiere un ebit por cada par anticonmutación en el grupo electrógeno mínimo. La simple razón de este requisito es que un ebit es una- autoestado de los operadores Pauli . El segundo qubit en el ebit transforma el par anticonmutaciónen un par de viajes diarios. La descomposición anterior también minimiza la cantidad de ebits requeridos para el código, es una descomposición óptima.
Podemos dividir el grupo no beliano en dos subgrupos : el subgrupo isotrópico y el subgrupo de enredos . El subgrupo isotrópico es un subgrupo de desplazamientos y por lo tanto corresponde a ancilla qubits:
- .
Los elementos del subgrupo de enredo vienen en pares anticonmutación y, por lo tanto, corresponden a ebits :
- .
Condiciones de corrección de errores del código del estabilizador asistido por enredo
Los dos subgrupos y juegan un papel en las condiciones de corrección de errores para el formalismo estabilizador asistido por enredos. Un código asistido por entrelazamiento corrige errores en un conjunto si por todos ,
Operación
El funcionamiento de un código asistido por entrelazamiento es el siguiente. El remitente realiza una codificación unitaria en sus qubits desprotegidos, ancilla qubits y su mitad de los ebits . El estado sin codificar es una simultánea + 1- eigenstate de los siguientes operadores de Pauli :
Los operadores de Pauli a la derecha de las barras verticales indican la mitad de los ebits compartidos del receptor . El unitario de codificación transforma los operadores Pauli no codificados en los siguientes operadores Pauli codificados :
El remitente transmite todos sus qubits a través del ruidoso canal cuántico . El receptor luego posee los qubits transmitidos y su mitad de los ebits . Mide los operadores codificados anteriores para diagnosticar el error. El último paso es corregir el error.
Tasa de un código asistido por entrelazamiento
Podemos interpretar la tasa de un código asistido por entrelazamiento de tres formas diferentes (Wilde y Brun 2007b). Supongamos que un código cuántico asistido por entrelazamiento codifica la información se convierte en qubits físicos con la ayuda de ebits.
- La tasa asistida por entrelazamiento asume que el entrelazamiento compartido entre el emisor y el receptor es gratuito. Bennett y col. haga esta suposición al derivar la capacidad asistida por entrelazamiento de un canal cuántico para enviar información cuántica. La tasa asistida por enredos es para un código con los parámetros anteriores.
- La tasa de compensación asume que el entrelazamiento no es gratuito y un par de tasas determina el rendimiento. El primer número del par es el número de qubits silenciosos generados por uso de canal, y el segundo número del par es el número de ebits consumidos por uso de canal. El par de tasas espara un código con los parámetros anteriores. Los teóricos de la información cuántica han calculado curvas de compensación asintóticas que delimitan la región de tasas en la que se encuentran los pares de tasas alcanzables. La construcción de un código de bloque cuántico asistido por entrelazamiento minimiza el número de ebits dado un número fijo y de los respectivos qubits de información y qubits físicos.
- La tasa catalítica asume que los bits de entrelazamiento se acumulan a expensas de los qubits transmitidos. Un canal cuántico silencioso o el uso codificado de un canal cuántico ruidoso son dos formas diferentes de crear un entrelazamiento entre un emisor y un receptor. La tasa catalítica de un el código es .
La interpretación que sea más razonable depende del contexto en el que usemos el código. En cualquier caso, los parámetros, , y en última instancia, rigen el desempeño, independientemente de la definición de la tasa que usemos para interpretar ese desempeño.
Ejemplo de un código asistido por entrelazamiento
Presentamos un ejemplo de un código asistido por entrelazamiento que corrige un error arbitrario de un solo qubit (Brun et al. 2006). Suponga que el remitente desea utilizar las propiedades de corrección de errores cuánticos del siguiente subgrupo no beliano de:
Los dos primeros generadores anticonmutan. Obtenemos un tercer generador modificado multiplicando el tercer generador por el segundo. Luego multiplicamos el último generador por el primer, segundo y tercer generador modificado. Las propiedades de corrección de errores de los generadores son invariantes bajo estas operaciones. Los generadores modificados son los siguientes:
El conjunto de generadores anterior tiene las relaciones de conmutación dadas por el teorema fundamental de la geometría simpléctica:
El conjunto de generadores anterior es unitariamente equivalente a los siguientes generadores canónicos:
Podemos agregar un ebit para resolver la anticomutatividad de los dos primeros generadores y obtener el estabilizador canónico:
El receptor Bob posee el qubit a la izquierda y el remitente Alice posee los cuatro qubits a la derecha. El siguiente estado es un estado propio del estabilizador anterior
dónde es un qubit que el remitente desea codificar. El unitario de codificación luego rota el estabilizador canónico al siguiente conjunto de generadores de conmutación global:
El receptor mide los generadores anteriores al recibir todos los qubits para detectar y corregir errores.
Algoritmo de codificación
Continuamos con el ejemplo anterior. Detallamos un algoritmo para determinar un circuito de codificación y el número óptimo de ebits para el código asistido por entrelazamiento; este algoritmo apareció por primera vez en el apéndice de (Wilde y Brun 2007a) y más tarde en el apéndice de (Shaw et al. 2008) . ). Los operadores del ejemplo anterior tienen la siguiente representación como una matriz binaria (consulte el artículo sobre el código del estabilizador ):
Llame a la matriz a la izquierda de la barra vertical " matrix "y la matriz a la derecha de la barra vertical el" matriz."
El algoritmo consta de operaciones de fila y columna en la matriz anterior. Las operaciones de fila no afectan las propiedades de corrección de errores del código, pero son cruciales para llegar a la descomposición óptima a partir del teorema fundamental de la geometría simpléctica. Las operaciones disponibles para manipular columnas de la matriz anterior son operaciones de Clifford. Las operaciones de Clifford preservan al grupo Paulibajo conjugación. La puerta CNOT, la puerta Hadamard y la puerta Phase generan el grupo Clifford. Una puerta CNOT de qubit qubit agrega columna a la columna en el matriz y agrega columna a la columna en el matriz. Una puerta de Hadamard en qubit columna de intercambios en el matriz con columna en el matriz y viceversa. Una puerta de fase en qubit agrega columna en el matriz a columna en el matriz. Tres puertas CNOT implementan una operación de intercambio de qubit. El efecto de un swap en qubits y es intercambiar columnas y tanto en el y matriz.
El algoritmo comienza calculando el producto simpléctico entre la primera fila y todas las demás filas. Enfatizamos que el producto simpléctico aquí es el producto simpléctico estándar. Deje la matriz como está si la primera fila no es simplécticamente ortogonal a la segunda fila o si la primera fila es simplécticamente ortogonal a todas las demás filas. De lo contrario, cambie la segunda fila por la primera fila disponible que no sea simplécticamente ortogonal a la primera fila. En nuestro ejemplo, la primera fila no es simplécticamente ortogonal a la segunda, por lo que dejamos todas las filas como están.
Organice la primera fila de modo que la entrada superior izquierda en el la matriz es una. Un CNOT, swap, Hadamard o combinaciones de estas operaciones pueden lograr este resultado. Podemos tener este resultado en nuestro ejemplo intercambiando qubits uno y dos. La matriz se convierte
Realice CNOT para borrar las entradas en el matriz en la fila superior a la derecha de la entrada más a la izquierda. Estas entradas ya son cero en este ejemplo, por lo que no necesitamos hacer nada. Proceda a borrar las entradas en la primera fila delmatriz. Realice una puerta de fase para despejar la entrada más a la izquierda en la primera fila delmatriz si es igual a uno. Es igual a cero en este caso, por lo que no es necesario hacer nada. Luego usamos Hadamards y CNOT para borrar las otras entradas en la primera fila del matriz.
Realizamos las operaciones anteriores para nuestro ejemplo. Realiza un Hadamard en qubits dos y tres. La matriz se convierte
Realice un CNOT de qubit uno a qubit dos y de qubit uno a qubit tres. La matriz se convierte
La primera fila está completa. Ahora procedemos a borrar las entradas de la segunda fila. Realiza un Hadamard en qubits uno y cuatro. La matriz se convierte
Realice un CNOT de qubit uno a qubit dos y de qubit uno a qubit cuatro. La matriz se convierte
Las dos primeras filas ahora están completas. Necesitan un ebit para compensar su anticomutatividad o su no ortogonalidad con respecto al producto simpléctico.
Ahora realizamos una "ortogonalización de Gram-Schmidt" con respecto al producto simpléctico. Agregue la fila uno a cualquier otra fila que tenga uno como la entrada más a la izquierda en sumatriz. Agregue la fila dos a cualquier otra fila que tenga una como la entrada más a la izquierda en sumatriz. Para nuestro ejemplo, agregamos la fila uno a la fila cuatro y agregamos la fila dos a las filas tres y cuatro. La matriz se convierte
Las dos primeras filas ahora son simplécticamente ortogonales a todas las demás filas según el teorema fundamental de la geometría simpléctica. Procedemos con el mismo algoritmo en las siguientes dos filas. Las siguientes dos filas son simplécticamente ortogonales entre sí, por lo que podemos tratarlas individualmente. Realice un Hadamard en el qubit dos. La matriz se convierte
Realice un CNOT de qubit dos a qubit tres y de qubit dos a qubit cuatro. La matriz se convierte
Realice una puerta de fase en el qubit dos:
Realice un Hadamard en el qubit tres seguido de un CNOT del qubit dos al qubit tres:
Agregue la fila tres a la fila cuatro y realice un Hadamard en el qubit dos:
Realice un Hadamard en el qubit cuatro seguido de un CNOT del qubit tres al qubit cuatro. Termine realizando un Hadamard en el qubit tres:
La matriz anterior ahora corresponde a los operadores canónicos de Pauli. Agregar la mitad de un ebit al lado del receptor da el estabilizador canónico cuyo + 1-eigenstate simultáneo es el estado anterior. Las operaciones anteriores en orden inverso llevan el estabilizador canónico al estabilizador codificado.
Referencias
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