En matemáticas financieras y optimización estocástica , el concepto de medida de riesgo se utiliza para cuantificar el riesgo involucrado en un resultado aleatorio o posición de riesgo. Hasta ahora se han propuesto muchas medidas de riesgo, cada una de las cuales tiene ciertas características. El valor entrópico en riesgo ( EVaR ) es una medida de riesgo coherente introducida por Ahmadi-Javid, [1] [2] que es un límite superior para el valor en riesgo (VaR) y el valor condicional en riesgo (CVaR), obtenido de la desigualdad de Chernoff . El EVaR también se puede representar mediante el concepto de entropía relativa. Por su conexión con el VaR y la entropía relativa, esta medida de riesgo se denomina "valor entrópico en riesgo". El EVaR fue desarrollado para abordar algunas ineficiencias computacionales [ aclaración necesaria ] del CVaR. Inspirándose en la representación dual del EVaR, Ahmadi-Javid [1] [2] desarrolló una amplia clase de medidas de riesgo coherentes , llamadas medidas de riesgo g-entrópico . Tanto el CVaR como el EVaR son miembros de esta clase.
que muestra la relación entre la EVaR y la desigualdad de Chernoff. Cabe resaltar quees la medida de riesgo entrópico o prima exponencial , que es un concepto utilizado en finanzas y seguros, respectivamente.
Dejar ser el conjunto de todas las funciones medibles de Borel cuya función generadora de momentos existe para todos . La representación dual (o representación robusta) del EVaR es la siguiente:
( 3 )
dónde y es un conjunto de medidas de probabilidad en con . Tenga en cuenta que
La función generadora de momentos puede ser representado por el EVaR: para todos y
( 4 )
Para , para todos si y solo si para todos .
La medida de riesgo entrópico con parámetro se puede representar mediante el EVaR: para todos y
( 5 )
El EVaR con nivel de confianza es el límite superior más ajustado posible que se puede obtener de la desigualdad de Chernoff para el VaR y el CVaR con nivel de confianza ;
Comparación de VaR, CVaR y EVaR para la distribución normal estándar
Comparando el VaR, CVaR y EVaR para la distribución uniforme en el intervalo (0,1)
Para
( 8 )
Para
( 9 )
Las figuras 1 y 2 muestran la comparación de VaR, CVaR y EVaR para y .
Mejoramiento
Dejar ser una medida de riesgo. Considere el problema de optimización
( 10 )
dónde es un -vector de decisión real dimensional , es un -vector aleatorio real dimensional con una distribución de probabilidad conocida y la función es una función medible de Borel para todos los valores Si entonces el problema de optimización ( 10 ) se convierte en:
( 11 )
Dejar ser el soporte del vector aleatorio Si es convexo para todos, entonces la función objetivo del problema ( 11 ) también es convexa. Si tiene la forma
que es computacionalmente manejable . Pero para este caso, si se usa el CVaR en el problema ( 10 ), entonces el problema resultante se convierte en el siguiente:
( 14 )
Se puede demostrar que al aumentar la dimensión de , el problema ( 14 ) es computacionalmente intratable incluso para casos simples. Por ejemplo, suponga queson variables aleatorias discretas independientes que tomanvalores distintos. Para valores fijos de y la complejidad de calcular la función objetivo dada en el problema ( 13 ) es de ordenmientras que el tiempo de cálculo para la función objetivo del problema ( 14 ) es de orden. Por ejemplo, suponga que y la suma de dos números lleva segundos. Para calcular la función objetivo del problema ( 14 ) se necesitan aproximadamenteaños, mientras que la evaluación de la función objetiva del problema ( 13 ) toma aproximadamentesegundos. Esto muestra que la formulación con EVaR supera a la formulación con CVaR (consulte [2] para obtener más detalles).
Generalización (medidas de riesgo g-entrópico)
Inspirándose en la representación dual del EVaR dada en ( 3 ), se puede definir una amplia clase de medidas de riesgo coherentes de teoría de la información, que se introducen en. [1] [2] Seaser una función convexa propia con y ser un número no negativo. La-medida de riesgo entrópico con nivel de divergencia Se define como
( 15 )
dónde en el cual es la entropía relativa generalizada de con respecto a . Una representación primordial de la clase de-Las medidas de riesgo entrópico se pueden obtener de la siguiente manera:
( 16 )
dónde es el conjugado de . Considerando
( 17 )
con y , se puede deducir la fórmula EVaR. El CVaR también es un-medida de riesgo entrópico, que se puede obtener de ( 16 ) estableciendo
( 18 )
con y (consulte [1] [3] para obtener más detalles).
Para obtener más resultados sobre -medidas de riesgo entrópico ver. [4]
Marco de programación disciplinado convexo
Cajas [5] propuso el marco de programación disciplinado convexo de la muestra de EVaR y tiene la siguiente forma:
( 19 )
dónde , y son variables; es un cono exponencial; [6] yes el número de observaciones. Si definimos como el vector de pesos para activos, la matriz de rendimientos y el vector medio de activos, podemos plantear la minimización del EVaR esperado dado un nivel de rendimiento esperado de la cartera como sigue.
( 20 )
Aplicando el marco disciplinado de programación convexa de EVaR a la distribución de rendimientos acumulados no compuestos, Cajas [5] propuso el problema de optimización de reducción entrópica en riesgo ( EDaR ). Podemos plantear la minimización de la EDaR esperada dado un nivel de retorno esperado como sigue:
( 21 )
dónde es una variable que representa los rendimientos acumulados no compuestos de la cartera y es la matriz de rendimientos acumulados de activos no compuestos.
Para otros problemas como la paridad de riesgo, la maximización de la relación retorno / riesgo o las restricciones en los niveles máximos de riesgo para EVaR y EDaR, puede consultar [5] para obtener más detalles.
La ventaja del modelo EVaR y EDaR usando un marco de programación convexo disciplinado, es que podemos usar software como CVXPY [7] o MOSEK [8] para modelar los problemas de optimización de este portafolio. EVaR y EDaR se implementan en el paquete de python Riskfolio-Lib. [9]
Ver también
Optimización estocástica
Medida de riesgo
Medida de riesgo coherente
Valor en riesgo
Valor condicional en riesgo
Déficit esperado
Medida de riesgo entrópico
Divergencia de Kullback-Leibler
Entropía relativa generalizada
Referencias
↑ a b c d Ahmadi-Javid, Amir (2011). Un enfoque teórico de la información para construir medidas de riesgo coherentes . San Petersburgo, Rusia: Actas del Simposio Internacional IEEE sobre Teoría de la Información. págs. 2125–2127. doi : 10.1109 / ISIT.2011.6033932 .
^ a b c dAhmadi-Javid, Amir (2012). "Valor en riesgo entrópico: una nueva medida de riesgo coherente". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 155 (3): 1105–1123. doi : 10.1007 / s10957-011-9968-2 .
^Ahmadi-Javid, Amir (2012). "Anexo a: valor en riesgo entrópico: una nueva medida de riesgo coherente". Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 155 (3): 1124–1128. doi : 10.1007 / s10957-012-0014-9 .
^Breuer, Thomas; Csiszar, Imre (2013). "Medir el riesgo del modelo de distribución". arXiv : 1301.4832v1 .
^ a b cCajas, Dany (24 de febrero de 2021). "Optimización de la cartera entrópica: un marco de programación convexa disciplinada". doi : 10.2139 / ssrn.3792520 . Cite journal requiere |journal=( ayuda )
^Chares, Robert (2009). "Conos y algoritmos de punto interior para optimización convexa estructurada con potencias y exponenciales" .