Medida de riesgo entrópico

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En matemáticas financieras , la medida de riesgo entrópico es una medida de riesgo que depende de la aversión al riesgo del usuario a través de la función de utilidad exponencial . Es una posible alternativa a otras medidas de riesgo como valor en riesgo o déficit esperado .

Es una medida teóricamente interesante porque proporciona diferentes valores de riesgo para diferentes individuos cuyas actitudes hacia el riesgo pueden diferir. Sin embargo, en la práctica sería difícil de utilizar, ya que es difícil cuantificar la aversión al riesgo de un individuo. La medida de riesgo entrópico es el mejor ejemplo de una medida de riesgo convexa que no es coherente. ^[1] Dada la conexión con las funciones de utilidad , se puede utilizar en problemas de maximización de utilidad .

Definición matemática

La medida de riesgo entrópico con el parámetro de aversión al riesgo se define como${\displaystyle \theta >0}$

${\displaystyle \rho ^{\mathrm {ent} }(X)={\frac {1}{\theta }}\log \left(\mathbb {E} [e^{-\theta X}]\right)=\sup _{Q\in {\mathcal {M}}_{1}}\left\{E^{Q}[-X]-{\frac {1}{\theta }}H(Q|P)\right\}\,}$^[2]

donde es la entropía relativa de Q << P . ^[3]${\displaystyle H(Q|P)=E\left[{\frac {dQ}{dP}}\log {\frac {dQ}{dP}}\right]}$

Conjunto de aceptación

El conjunto de aceptación para la medida de riesgo entrópico es el conjunto de pagos con utilidad esperada positiva. Es decir

${\displaystyle A=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E[u(X)]\geq 0\}=\{X\in L^{p}({\mathcal {F}}):E\left[e^{-\theta X}\right]\leq 1\}}$

donde es la función de utilidad exponencial. ^[3]${\displaystyle u(X)}$

Medida dinámica del riesgo entrópico

La medida de riesgo condicional asociada con el parámetro de riesgo entrópico dinámico con aversión al riesgo viene dada por${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \rho _{t}^{\mathrm {ent} }(X)={\frac {1}{\theta }}\log \left(\mathbb {E} [e^{-\theta X}|{\mathcal {F}}_{t}]\right).}$

Esta es una medida de riesgo consistente en el tiempo si es constante a lo largo del tiempo, ^[4] y se puede calcular de manera eficiente utilizando ecuaciones diferenciales hacia adelante y hacia atrás ^{[5] [6]} . ${\displaystyle \theta }$

Ver también

• Valor entrópico en riesgo

Referencias

1. Rudloff, Birgit; Sass, Jorn; Wunderlich, Ralf (21 de julio de 2008). "Restricciones de riesgo entrópico para la maximización de la utilidad" (PDF) . Archivado desde el original (pdf) el 18 de octubre de 2012 . Consultado el 22 de julio de 2010 .
2. Föllmer, Hans; Schied, Alexander (2004). Finanzas estocásticas: una introducción en tiempo discreto (2 ed.). Walter de Gruyter. pag. 174 . ISBN 978-3-11-018346-7.
3. Follmer, Hans; Schied, Alexander (8 de octubre de 2008). "Medidas de riesgo convexas y coherentes" (pdf) . Consultado el 22 de julio de 2010 .
4. Penner, Irina (2007). "Medidas de riesgo convexo dinámico: coherencia temporal, prudencia y sostenibilidad" (PDF) . Archivado desde el original (pdf) el 19 de julio de 2011 . Consultado el 3 de febrero de 2011 .
5. Hyndman, Cody; Kratsios, Anastasis; Wang, Renjie (2020). "La medida entrópica transforma" (pdf) .
6. Chong, Wing Fung; Hu, Ying; Liang, Gechun; Zariphopoulou, Thaleia (2018). "Un enfoque ergódico BSDE para adelantar medidas de riesgo entrópico: representación y comportamiento de gran madurez" (pdf) .