Límite de una función
Aunque la función (sin x )/ x no está definida en cero, a medida que x se acerca cada vez más a cero, (sin x )/ x se acerca arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de (sin x )/ x , cuando x tiende a cero, es igual a 1.
En matemáticas , el límite de una función es un concepto fundamental en cálculo y análisis relacionado con el comportamiento de esa función cerca de una entrada en particular .
Las definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX, se dan a continuación. Informalmente, una función f asigna una salida f ( x ) a cada entrada x . Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p, si f ( x ) se acerca más y más a L a medida que x se acerca más y más a p . Más específicamente, cuando f se aplica a cualquier entrada lo suficientemente cerca de p , el valor de salida se fuerza arbitrariamente cerca de L. Por otro lado, si algunas entradas muy cercanas a p se llevan a salidas que se mantienen a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe .
La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno . En particular, las muchas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: aproximadamente, una función es continua si todos sus límites concuerdan con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de la derivada : en el cálculo de una variable, este es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes a la gráfica de una función.
Aunque implícita en el desarrollo del cálculo de los siglos XVII y XVIII, la idea moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo los fundamentos de la técnica épsilon-delta para definir funciones continuas. Sin embargo, su obra no fue conocida durante su vida. [1]
En su libro Cours d'analyse de 1821 , Cauchy discutió cantidades variables, infinitesimales y límites, y definió la continuidad de diciendo que un cambio infinitesimal en x necesariamente produce un cambio infinitesimal en y , mientras que ( Grabiner 1983 ) afirma que usó un épsilon riguroso -delta definición en pruebas. [2] En 1861, Weierstrass introdujo por primera vez la definición de límite épsilon-delta en la forma en que generalmente se escribe hoy. [3] También introdujo las notaciones lim y lim x → x 0 .[4]
| 1 | 0.841471... |
| 0.1 | 0.998334... |
| 0.01 | 0.999983... |
Aunque la función (sin x )/ x no está definida en cero, a medida que x se acerca cada vez más a cero, (sin x )/ x se acerca arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de (sin x )/ x , cuando x tiende a cero, es igual a 1.
