Secuencia equidistribuida

En matemáticas , se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está equidistribuida , o distribuida uniformemente , si la proporción de términos que caen en un subintervalo es proporcional a la longitud de ese subintervalo. Tales secuencias se estudian en la teoría de aproximación diofántica y tienen aplicaciones a la integración de Monte Carlo .

Definición

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está equidistribuida en un intervalo no degenerado [ a ,  b ] si para cualquier subintervalo [ c ,  d  ] de [ a ,  b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}.}$

(Aquí, la notación | { s ₁ , ..., s _n } ∩ [ c ,  d  ] | denota el número de elementos, de los primeros n elementos de la secuencia, que se encuentran entre c y d .)

Por ejemplo, si una secuencia está equidistribuida en [0, 2], dado que el intervalo [0.5, 0.9] ocupa 1/5 de la longitud del intervalo [0, 2], cuando n se vuelve grande, la proporción de los primeros n los miembros de la secuencia que caen entre 0,5 y 0,9 deben aproximarse a 1/5. En términos generales, se podría decir que es igualmente probable que cada miembro de la secuencia se encuentre en cualquier lugar de su rango. Sin embargo, esto no quiere decir que ( s _n ) sea una secuencia de variables aleatorias ; más bien, es una secuencia determinada de números reales.

Discrepancia

Definimos la discrepancia D _N para una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) con respecto al intervalo [ a ,  b ] como

${\displaystyle D_{N}=\sup _{a\leq c\leq d\leq b}\left\vert {\frac {\left|\{\,s_{1},\dots ,s_{N}\,\}\cap [c,d]\right|}{N}}-{\frac {d-c}{b-a}}\right\vert .}$

Por tanto, una secuencia se distribuye equidistribuye si la discrepancia D _N tiende a cero cuando N tiende a infinito.

La equidistribución es un criterio bastante débil para expresar el hecho de que una secuencia llena el segmento sin dejar espacios. Por ejemplo, los dibujos de una variable aleatoria uniforme sobre un segmento se equidistribuirán en el segmento, pero habrá grandes espacios en comparación con una secuencia que primero enumera múltiplos de ε en el segmento, para algunos ε pequeños, de una manera elegida apropiadamente. , y luego continúa haciendo esto para valores cada vez más pequeños de ε. Para criterios más estrictos y para construcciones de secuencias que están distribuidas de manera más uniforme, consulte la secuencia de discrepancia baja .

Criterio integral de Riemann para la equidistribución

Recuerde que si f es una función que tiene una integral de Riemann en el intervalo [ a ,  b ], entonces su integral es el límite de las sumas de Riemann tomadas al muestrear la función f en un conjunto de puntos elegidos de una partición fina del intervalo. Por lo tanto, si alguna secuencia está equidistribuida en [ a ,  b ], se espera que esta secuencia pueda usarse para calcular la integral de una función integrable de Riemann. Esto conduce al siguiente criterio ^[1] para una secuencia equidistribuida:

Suponga que ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) es una secuencia contenida en el intervalo [ a ,  b ]. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. La secuencia se equidistribuye en [ a ,  b ].
2. Para cada función integrable de Riemann ( de valor complejo ) f  : [ a ,  b ] → ℂ, se cumple el siguiente límite:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f\left(s_{n}\right)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Prueba

First note that the definition of an equidistributed sequence is equivalent to the integral criterion whenever f is the indicator function of an interval: If f = 1[c, d], then the left hand side is the proportion of points of the sequence falling in the interval [c, d], and the right hand side is exactly ${\displaystyle \textstyle {\frac {d-c}{b-a}}.}$ This means 2 ⇒ 1 (since indicator functions are Riemann-integrable), and 1 ⇒ 2 for f being an indicator function of an interval. It remains to assume that the integral criterion holds for indicator functions and prove that it holds for general Riemann-integrable functions as well. Note that both sides of the integral criterion equation are linear in f, and therefore the criterion holds for linear combinations of interval indicators, that is, step functions. To show it holds for f being a general Riemann-integrable function, first assume f is real-valued. Then by using Darboux's definition of the integral, we have for every ε > 0 two step functions f1 and f2 such that f1 ≤ f ≤ f2 and ${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}(f_{2}(x)-f_{1}(x))\,dx\leq \varepsilon (b-a).}$ Notice that: ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{1}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{1}(s_{n})\leq \liminf _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f_{2}(x)\,dx=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f_{2}(s_{n})\geq \limsup _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ By subtracting, we see that the limit superior and limit inferior of ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(s_{n})}$ differ by at most ε. Since ε is arbitrary, we have the existence of the limit, and by Darboux's definition of the integral, it is the correct limit. Finally, for complex-valued Riemann-integrable functions, the result follows again from linearity, and from the fact that every such function can be written as f = u + vi, where u, v are real-valued and Riemann-integrable. ∎

Este criterio conduce a la idea de la integración de Monte-Carlo , donde las integrales se calculan muestreando la función sobre una secuencia de variables aleatorias equidistribuidas en el intervalo.

No es posible generalizar el criterio integral a una clase de funciones más grande que las integrables de Riemann. Por ejemplo, si se considera la integral de Lebesgue y se considera que f está en L ¹ , entonces este criterio falla. Como contraejemplo, tome f como la función indicadora de alguna secuencia equidistribuida. Entonces, en el criterio, el lado izquierdo es siempre 1, mientras que el lado derecho es cero, porque la secuencia es contable , por lo que f es cero en casi todas partes .

De hecho, el teorema de Bruijn-Post establece lo contrario del criterio anterior: si f es una función tal que el criterio anterior se cumple para cualquier secuencia equidistribuida en [ a ,  b ], entonces f es integrable de Riemann en [ a ,  b ]. ^[2]

Equidistribución módulo 1

Se dice que una secuencia ( a ₁ , a ₂ , a ₃ , ...) de números reales está equidistribuida en módulo 1 o uniformemente distribuida en módulo 1 si la secuencia de las partes fraccionarias de una _n , denotada por ( a _n ) o por a _n  - ⌊ a _n ⌋, se equidistribuye en el intervalo [0, 1].

Ejemplos

Ilustración del llenado del intervalo unitario ( eje x ) utilizando los primeros n términos de la secuencia de Van der Corput, para n de 0 a 999 ( eje y ). La gradación de color se debe al aliasing.

• El teorema de la equidistribución : la secuencia de todos los múltiplos de un α irracional ,

0, α , 2 α , 3 α , 4 α , ...

se equidistribuye módulo 1. ^[3]

• De manera más general, si p es un polinomio con al menos un coeficiente distinto del término constante irracional, entonces la secuencia p ( n ) se distribuye uniformemente en módulo 1.

Esto fue probado por Weyl y es una aplicación del teorema de diferencias de van der Corput. ^[4]

• La secuencia log ( n ) no se distribuye uniformemente módulo 1. ^[3] Este hecho está relacionado con la ley de Benford .
• La secuencia de todos los múltiplos de un α irracional por números primos sucesivos ,

2 α , 3 α , 5 α , 7 α , 11 α , ...

se equidistribuye módulo 1. Este es un famoso teorema de la teoría analítica de números , publicado por IM Vinogradov en 1948. ^[5]

• La secuencia de van der Corput está equidistribuida. ^[6]

Criterio de Weyl

Criterio de Weyl estados que la secuencia de un _n se equidistributed módulo 1 si y sólo si para todo no cero enteros ℓ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}e^{2\pi i\ell a_{j}}=0.}$

El criterio lleva el nombre y fue formulado por primera vez por Hermann Weyl . ^[7] Permite reducir las preguntas de equidistribución a límites en sumas exponenciales , un método fundamental y general.

Boceto de prueba

If the sequence is equidistributed modulo 1, then we can apply the Riemann integral criterion (described above) on the function ${\displaystyle \textstyle f(x)=e^{2\pi i\ell x},}$ which has integral zero on the interval [0, 1]. This gives Weyl's criterion immediately. Conversely, suppose Weyl's criterion holds. Then the Riemann integral criterion holds for functions f as above, and by linearity of the criterion, it holds for f being any trigonometric polynomial. By the Stone–Weierstrass theorem and an approximation argument, this extends to any continuous function f. Finally, let f be the indicator function of an interval. It is possible to bound f from above and below by two continuous functions on the interval, whose integrals differ by an arbitrary ε. By an argument similar to the proof of the Riemann integral criterion, it is possible to extend the result to any interval indicator function f, thereby proving equidistribution modulo 1 of the given sequence. ∎

Generalizaciones

• Una forma cuantitativa del criterio de Weyl viene dada por la desigualdad de Erdős-Turán .
• El criterio de Weyl se extiende naturalmente a dimensiones superiores , asumiendo la generalización natural de la definición de equidistribución módulo 1:

La secuencia v _n de vectores en R ^k se equidistribuye módulo 1 si y solo si para cualquier vector distinto de cero ℓ ∈  Z ^k ,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell \cdot v_{j}}=0.}$

Ejemplo de uso

El criterio de Weyl se puede utilizar para demostrar fácilmente el teorema de la equidistribución , afirmando que la secuencia de múltiplos 0, α , 2 α , 3 α , ... de algún número real α se equidistribuye módulo 1 si y solo si α es irracional. ^[3]

Suponga que α es irracional y denote nuestra secuencia por a _j  =  jα (donde j comienza desde 0, para simplificar la fórmula más adelante). Sea ℓ  ≠ 0 un número entero. Dado que α es irracional, ℓα nunca puede ser un número entero, por lo que${\textstyle e^{2\pi i\ell \alpha }}$nunca puede ser 1. Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica finita ,

${\displaystyle \left|\sum _{j=0}^{n-1}e^{2\pi i\ell j\alpha }\right|=\left|\sum _{j=0}^{n-1}\left(e^{2\pi i\ell \alpha }\right)^{j}\right|=\left|{\frac {1-e^{2\pi i\ell n\alpha }}{1-e^{2\pi i\ell \alpha }}}\right|\leq {\frac {2}{\left|1-e^{2\pi i\ell \alpha }\right|}},}$

un límite finito que no depende de n . Por lo tanto, después de dividir por ny dejar que n tienda al infinito, el lado izquierdo tiende a cero y se cumple el criterio de Weyl.

Por el contrario, observe que si α es racional, entonces esta secuencia no está equidistribuida en módulo 1, porque solo hay un número finito de opciones para la parte fraccionaria de a _j  =  jα .

Distribución uniforme completa

Una secuencia ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$de números reales se dice que está k-uniformemente distribuido mod 1 si no sólo la secuencia de partes fraccionarias${\displaystyle a_{n}':=a_{n}-[a_{n}]}$ se distribuye uniformemente en ${\displaystyle [0,1]}$ pero también la secuencia ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots )}$, donde ${\displaystyle b_{n}}$ Se define como ${\displaystyle b_{n}:=(a'_{n+1},\dots ,a'_{n+k})\in [0,1]^{k}}$, se distribuye uniformemente en ${\displaystyle [0,1]^{k}}$.

Una secuencia ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots )}$de números reales se dice que está completamente distribuido de manera uniforme mod 1 es${\displaystyle k}$-distribuido uniformemente para cada número natural ${\displaystyle k\geq 1}$.

Por ejemplo, la secuencia ${\displaystyle (\alpha ,2\alpha ,\dots )}$ está uniformemente distribuido mod 1 (o 1-uniformemente distribuido) para cualquier número irracional ${\displaystyle \alpha }$, pero nunca se distribuye uniformemente en 2. En contraste, la secuencia${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{2},\alpha ^{3},\dots )}$ se distribuye de manera completamente uniforme para casi todos ${\displaystyle \alpha >1}$ (es decir, para todos ${\displaystyle \alpha }$ excepto por un conjunto de medida 0).

teorema de la diferencia de van der Corput

Un teorema de Johannes van der Corput ^[8] establece que si para cada h la secuencia s _{n + h}  -  s _n se distribuye uniformemente en módulo 1, entonces también lo es s _n . ^{[9] [10] [11]}

Un conjunto de van der Corput es un conjunto H de enteros de modo que si para cada h en H la secuencia s _{n + h}  -  s _n se distribuye uniformemente en módulo 1, entonces también lo es s _n . ^{[10] [11]}

Teoremas métricos

Los teoremas métricos describen el comportamiento de una secuencia parametrizada para casi todos los valores de algún parámetro α : es decir, para valores de α que no se encuentran en algún conjunto excepcional de medida cero de Lebesgue .

• Para cualquier secuencia de enteros distintos b _n , la secuencia ( b _n α ) se equidistribuye mod 1 para casi todos los valores de α . ^[12]
• La secuencia ( α ⁿ ) se equidistribuye mod 1 para casi todos los valores de α > 1. ^[13]

No se sabe si las secuencias ( e ⁿ ) o ( π ⁿ ) están equidistribuidas mod 1. Sin embargo, se sabe que la secuencia ( α ⁿ ) no está equidistribuida mod 1 si α es un número PV .

Secuencia bien distribuida

Se dice que una secuencia ( s ₁ , s ₂ , s ₃ , ...) de números reales está bien distribuida en [ a ,  b ] si para cualquier subintervalo [ c ,  d  ] de [ a ,  b ] tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\left|\{\,s_{k+1},\dots ,s_{k+n}\,\}\cap [c,d]\right| \over n}={d-c \over b-a}}$

uniformemente en k . Claramente, cada secuencia bien distribuida se distribuye uniformemente, pero no ocurre lo contrario. La definición de módulo 1 bien distribuido es análoga.

Secuencias equidistribuidas con respecto a una medida arbitraria

Para un espacio de medida de probabilidad arbitrario ${\displaystyle (X,\mu )}$, una secuencia de puntos ${\displaystyle (x_{n})}$ se dice que está equidistribuido con respecto a ${\displaystyle \mu }$si la media de las medidas puntuales converge débilmente a${\displaystyle \mu }$: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\sum _{k=1}^{n}\delta _{x_{k}}}{n}}\Rightarrow \mu \ .}$

En cualquier medida de probabilidad de Borel en un espacio separable y metrizable , existe una secuencia equidistribuida con respecto a la medida; de hecho, esto se deriva inmediatamente del hecho de que dicho espacio es estándar .

El fenómeno general de la equidistribución surge mucho para los sistemas dinámicos asociados con los grupos de Lie , por ejemplo, en la solución de Margulis a la conjetura de Oppenheim .

Ver también

• Teorema de equidistribución
• Secuencia de baja discrepancia
• Desigualdad de Erdős-Turán

Notas

1. Kuipers y Niederreiter (2006) págs. 2-3
2. http://math.uga.edu/~pete/udnotes.pdf , Teorema 8
3. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 8
4. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 27
5. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 129
6. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 127
7. Weyl, H. (septiembre de 1916). "Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins" [Sobre la distribución de números módulo uno] (PDF) . Matemáticas. Ana. (en alemán). 77 (3): 313–352. doi : 10.1007 / BF01475864 .
8. van der Corput, J. (1931), "Diophantische Ungleichungen. I. Zur Gleichverteilung Modulo Eins", Acta Mathematica , Springer Holanda, 56 : 373–456, doi : 10.1007 / BF02545780 , ISSN 0001-5962 , JFM 57.0230.05 , Zbl 0001.20102   
9. Kuipers y Niederreiter (2006) p. 26
10. Montgomery (1994) p.18
11. Montgomery, Hugh L. (2001). "Análisis armónico como se encuentra en la teoría analítica de números" (PDF) . En Byrnes, James S. (ed.). Análisis armónico del siglo XX: una celebración. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Il Ciocco, Italia, 2 al 15 de julio de 2000 . NATO Sci. Ser. II, Matemáticas. Phys. Chem. 33 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 271-293. doi : 10.1007 / 978-94-010-0662-0_13 . ISBN  978-0-7923-7169-4. Zbl  1001.11001 .
12. Véase Bernstein, Felix (1911), "Über eine Anwendung der Mengenlehre auf ein aus der Theorie der säkularen Störungen herrührendes Problem" , Mathematische Annalen , 71 (3): 417–439, doi : 10.1007 / BF01456856.
13. Koksma, JF (1935), "Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins" , Compositio Mathematica , 2 : 250-258, JFM 61.0205.01 , Zbl 0012.01401  
14. Kuipers y Niederreiter (2006) p.171

Referencias

• Kuipers, L .; Niederreiter, H. (2006) [1974]. Distribución uniforme de secuencias . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-45019-8.
• Kuipers, L .; Niederreiter, H. (1974). Distribución uniforme de secuencias . John Wiley & Sons Inc. ISBN 0-471-51045-9. Zbl  0281.10001 .
• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 84 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001 .

Lectura adicional

• Granville, Andrew; Rudnick, Zeév, eds. (2007). Equidistribución en la teoría de números, una introducción. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN sobre la equidistribución en la teoría de números, Montreal, Canadá, 11 al 22 de julio de 2005 . Serie de Ciencias de la OTAN II: Matemáticas, Física y Química. 237 . Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl  1121.11004 .
• Tao, Terence (2012). Análisis de Fourier de orden superior . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 142 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0-8218-8986-2. Zbl  1277.11010 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Secuencia equidistribuida" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Criterio de Weyl" . MathWorld .
• Criterio de Weyl en PlanetMath .
• Notas de la conferencia de Charles Walkden con prueba del criterio de Weyl