Gavilla equivariante

En matemáticas, dada una acción ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$de un esquema de grupo G en un esquema X sobre un esquema base S , una gavilla equivariante F en X es una gavilla de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos junto con el isomorfismo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$-módulos

${\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$  

que satisface la condición del ciclo: ^{[1] [2]} escribiendo m para la multiplicación,

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

Notas sobre la definición

En el nivel del tallo, la condición del ciclo dice que el isomorfismo ${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$ es lo mismo que la composición ${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$; es decir, la asociatividad de la acción grupal. La unitaridad de una acción grupal también es una consecuencia: aplicar${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$ a ambos lados para conseguir ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$ y entonces ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$ es la identidad.

Tenga en cuenta que ${\displaystyle \phi }$es un dato adicional; que es "un ascensor" de la acción de G en X a la gavilla F . Además, cuando G es un grupo algebraico conectado, F una gavilla invertible y X se reduce, la condición de ciclo es automática: cualquier isomorfismo${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$ satisface automáticamente la condición del ciclo (este hecho se indica al final de la demostración del Capítulo 1, § 3., Proposición 1.5. de la "teoría geométrica invariante" de Mumford).

Si la acción de G es libre, entonces la noción de gavilla equivariante se simplifica a gavilla en el cociente X / G , debido al descenso a lo largo de los torres .

Según el lema de Yoneda , dar la estructura de una gavilla equivariante a una${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo F es el mismo que da homomorfismos de grupo para anillos R sobre${\displaystyle S}$,

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$. ^[3]

También hay una definición de roldanas equivariantes en términos de roldanas simpliciales . Alternativamente, se puede definir una gavilla equivariante como un objeto equivariante en la categoría de, digamos, gavillas coherentes.

Paquetes de líneas linealizados

Una estructura de una gavilla equivariante sobre una gavilla invertible o un haz de líneas también se denomina linealización .

Sea X una variedad completa sobre un campo algebraicamente cerrado actuado por un grupo reductor conectado G y L una gavilla invertible sobre él. Si X es normal, entonces algo de poder tensorial${\displaystyle L^{n}}$de L es linealizable. ^[4]

Además, si L es muy amplio y linealizado, entonces hay una inmersión cerrada lineal G de X a${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$ tal que ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$se linealiza y la linealización en L es inducida por la de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$. ^[5]

Los productos tensoriales y las inversas de las poleas invertibles linealizadas se vuelven a linealizar de forma natural. Por lo tanto, las clases de isomorfismo de las poleas invertibles linealizados en un esquema X forman un subgrupo del grupo de Picard de X .

Consulte el Ejemplo 2.16 de [1] para ver un ejemplo de una variedad para la cual la mayoría de los paquetes de líneas no son linealizables.

Acción dual en secciones de poleas equivariantes

Dado un grupo algebraico G y una gavilla F de G -equivariante en X sobre un campo k , sea${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$ser el espacio de las secciones globales. Luego admite la estructura de un módulo G ; es decir, V es una representación lineal de G como sigue. Escribiendo${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$para la acción de grupo, para cada g en G y v en V , y mucho

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

donde ${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$ y ${\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V}$es el isomorfismo dado por la estructura equivariante-gavilla en F . La condición de ciclo entonces asegura que${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ es un homomorfismo de grupo (es decir, ${\displaystyle \pi }$ es una representación.)

Ejemplo : tomar${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$ y ${\displaystyle \sigma =}$la acción de G sobre sí mismo. Luego${\displaystyle V=k[G]}$, ${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$ y

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

sentido ${\displaystyle \pi }$es la representación regular la izquierda de G .

La representación ${\displaystyle \pi }$definido anteriormente es una representación racional : para cada vector v en V , hay un submódulo G de dimensión finita de V que contiene v . ^[6]

Paquete de vectores equivariantes

Una definición es más simple para un paquete de vectores (es decir, una variedad que corresponde a un haz localmente libre de rango constante). Decimos que un paquete de vectores E en una variedad algebraica X actuado por un grupo algebraico G es equivariante si G actúa en forma de fibra: es decir,${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$es un isomorfismo "lineal" de espacios vectoriales. ^[7] En otras palabras, un paquete de vectores equivariantes es un par que consta de un paquete de vectores y el levantamiento de la acción${\displaystyle G\times X\to X}$ A la de ${\displaystyle G\times E\to E}$ para que la proyección ${\displaystyle E\to X}$ es equivariante.

Al igual que en el entorno no equivariante, se puede definir una clase característica equivariante de un paquete de vectores equivariantes.

Ejemplos

• El paquete tangente de una variedad múltiple o suave es un paquete vectorial equivariante.
• El haz de formas diferenciales equivariantes .
• Deje que G sea un grupo algebraico semisimple, y λ: H → C un personaje en un máximo torus H . Se extiende a un Borel subgrupo λ: B → C , dando una representación tridimensional W _λ de B . Entonces GxW _λ es un paquete de vectores trivial sobre G sobre el cual B actúa. El cociente L _λ = Gx _B W _λ por la acción de B es un haz línea sobre la variedad bandera G / B . Tenga en cuenta que G → G / B es una Bpaquete, por lo que este es solo un ejemplo de la construcción del paquete asociado. El teorema de Borel-Weil-Bott dice que todas las representaciones de G surgen como cohomologías de tales haces de líneas.
• Si X = Spec (A) es un esquema afín, un G _m -action en X es el mismo que un Z de calificaciones en la A . Del mismo modo, un G _m equivariante quasicoherent gavilla en X es el mismo que un Z clasifica Un módulo. ^{[ cita requerida ]}

Ver también

• Teoría K algebraica equivariante
• Paquete equivariante
• Cohomología equivariante
• Pila de cociente

Notas

1. MFK 1994 , Capítulo 1. § 3. Definición 1.6.error de harvnb: sin destino: CITEREFMFK1994 ( ayuda )
2. Gaitsgory , 2005 , párrafo 6.error de harvnb: sin destino: CITEREFGaitsgory2005 ( ayuda )
3. Thomason 1987 , § 1.2.error de harvnb: sin destino: CITEREFThomason1987 ( ayuda )
4. MFK 1994 , Capítulo 1. § 3. Corolario 1.6.error de harvnb: sin destino: CITEREFMFK1994 ( ayuda )
5. MFK 1994 , Capítulo 1. § 3. Proposición 1.7.error de harvnb: sin destino: CITEREFMFK1994 ( ayuda )
6. MFK 1994 , cap. 1. § 1. el lema inmediatamente después de la definición 1.3.error de harvnb: sin destino: CITEREFMFK1994 ( ayuda )
7. Si E se ve como una gavilla, entonces g debe ser reemplazado por${\displaystyle g^{-1}}$.

Referencias

• J. Bernstein, V. Lunts, "Gavillas y functores equivariantes", Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
• Mumford, David; Fogarty, J .; Kirwan, F. Teoría invariante geométrica . Tercera edicion. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)), 34. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xiv + 292 págs. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4 
• D. Gaitsgory, teoría de la representación geométrica, matemáticas 267y, otoño de 2005
• Thomason, RW: Teoría K algebraica de acciones de esquema de grupo. En: Browder, W. (ed.) Topología algebraica y teoría K algebraica. (Ann. Math. Stud., Vol. 113, págs. 539–563) Princeton: Princeton University Press 1987

Enlaces externos

• Poleas equivalentes