En matemáticas , la dimensión esencial es un invariante definido para ciertas estructuras algebraicas como grupos algebraicos y formas cuadráticas . Fue introducido por J. Buhler y Z. Reichstein [1] y en su forma más general definida por A. Merkurjev . [2]
Básicamente, la dimensión esencial mide la complejidad de las estructuras algebraicas a través de sus campos de definición. Por ejemplo, una forma cuadrática q: V → K sobre un campo K, donde V es un espacio vectorial K , se dice que está definida sobre un subcampo L de K si existe una base K e 1 , ..., e n de V tal que q se puede expresar en la formacon todos los coeficientes a ij pertenecientes a L. Si K tiene una característica diferente de 2, toda forma cuadrática es diagonalizable . Por tanto, q tiene un campo de definición generado por n elementos. Técnicamente, siempre se trabaja sobre un campo base (fijo) k y se supone que los campos K y L en consideración contienen k. La dimensión esencial de q se define entonces como el menor grado de trascendencia sobre k de un subcampo L de K sobre el que se define q.
Definicion formal
Arregle un campo arbitrario k y deje que Fields / k denote la categoría de extensiones de campo de k generadas finitamente con inclusiones como morfismos . Considere un functor (covariante) F: Campos / k → Conjunto . Para una extensión de campo K / k y un elemento a de F (K / k), un campo de definición de a es un campo intermedio K / L / k tal que a está contenido en la imagen del mapa F (L / k) → F (K / k) inducida por la inclusión de L en K.
La dimensión esencial de a , denotada por ed (a) , es el menor grado de trascendencia (sobre k) de un campo de definición para a . La dimensión esencial del funtor F , denotado por ed (F) , es el supremo de ed (a) tomado sobre todos los elementos a de F (K / k) y los objetos K / k de Fields / k.
Ejemplos de
- Dimensión esencial de formas cuadráticas : Para un número natural n considere el functor Q n : Campos / k → Conjunto tomando una extensión de campo K / k al conjunto de clases de isomorfismo de formas cuadráticas n-dimensionales no degeneradas sobre K y tomando un morfismo L / k → K / k (dado por la inclusión de L en K) al mapa que envía la clase de isomorfismo de una forma cuadrática q: V → L a la clase de isomorfismo de la forma cuadrática.
- Dimensión esencial de grupos algebraicos : Para un grupo algebraico G sobre k denotar por H 1 (-, G): Campos / k → Establecer el functor tomando una extensión de campo K / k al conjunto de clases de isomorfismo de G- torores sobre K ( en la topología fppf). La dimensión esencial de este funtor se denomina dimensión esencial del grupo algebraico G , denotado por ed (G).
- Dimensión esencial de una categoría con fibras : Sea ser una categoría con fibra sobre la categoría de esquemas k afines, dado por un funtor Por ejemplo, puede ser la pila de módulos de curvas de género g o la pila de clasificación de un grupo algebraico. Suponga que para cadalas clases de isomorfismo de objetos en la fibra p −1 (A) forman un conjunto. Luego obtenemos un funtor F p : Fields / k → Set tomando una extensión de campo K / k al conjunto de clases de isomorfismo en la fibra. La dimensión esencial de la categoría de fibrasse define como la dimensión esencial del correspondiente functor F p . En el caso de la pila de clasificación de un grupo algebraico G el valor coincide con la dimensión esencial previamente definida de G.
Resultados conocidos
- La dimensión esencial de un grupo algebraico lineal G es siempre finita y está limitada por la dimensión mínima de una representación genéricamente libre menos la dimensión de G.
- Para G un grupo Spin sobre un campo k algebraicamente cerrado, la dimensión esencial se enumera en OEIS : A280191 .
- La dimensión esencial de un grupo p algebraico finito sobre k es igual a la dimensión mínima de una representación fiel, siempre que el campo base k contenga una p-ésima raíz de unidad primitiva.
- La dimensión esencial del grupo simétrico S n (visto como grupo algebraico sobre k) se conoce para n≤5 (para cada campo base k), para n = 6 (para k de característica no 2) y para n = 7 (en característica 0).
- Sea T un toro algebraico que admite un campo de división de Galois L / k de grado una potencia de un primo p. Entonces la dimensión esencial de T es igual al rango mínimo del núcleo de un homomorfismo de Gal (L / k) - retículas P → X (T) con cokernel finito y de orden primo ap , donde P es una retícula de permutación.
Referencias
- ^ Buhler, J .; Reichstein, Z. (1997). "Sobre la dimensión esencial de un grupo finito" . Compositio Mathematica . 106 (2): 159-179. doi : 10.1023 / A: 1000144403695 .
- ^ Berhuy, G .; Favi, G. (2003). "Dimensión esencial: un punto de vista funcional (después de A. Merkurjev)". Documenta Mathematica . 8 : 279–330 (electrónico).