En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un dominio euclidiano (también llamado anillo euclidiano ) es un dominio integral que puede ser dotado de una función euclidiana que permite una generalización adecuada de la división euclidiana de los números enteros. Este algoritmo euclidiano generalizado puede tener muchos de los mismos usos que el algoritmo original de Euclides en el anillo de los números enteros : en cualquier dominio euclidiano, se puede aplicar el algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor.de dos elementos cualesquiera. En particular, el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera existe y puede escribirse como una combinación lineal de ellos ( identidad de Bézout ). También todo ideal en un dominio euclidiano es principal , lo que implica una adecuada generalización del teorema fundamental de la aritmética : todo dominio euclidiano es un dominio de factorización única .
Es importante comparar la clase de dominios euclidianos con la clase más grande de dominios ideales principales (PID). Un PID arbitrario tiene las mismas "propiedades estructurales" de un dominio euclidiano (o, de hecho, incluso del anillo de números enteros), pero cuando se conoce un algoritmo explícito para la división euclidiana, se puede usar el algoritmo euclidiano y el algoritmo euclidiano extendido para calcular Máximos comunes divisores e identidad de Bézout . En particular, la existencia de algoritmos eficientes para la división euclidiana de enteros y de polinomios en una variable sobre un campo es de importancia básica en el álgebra computacional .
Entonces, dado un dominio integral R , a menudo es muy útil saber que R tiene una función euclidiana: en particular, esto implica que R es un PID. Sin embargo, si no hay una función euclidiana "obvia", entonces determinar si R es un PID es generalmente un problema mucho más fácil que determinar si es un dominio euclidiano.
Sea R un dominio integral. Una función euclidiana en R es una función f de R \{0 } a los enteros no negativos que satisfacen la siguiente propiedad fundamental de división con resto:
Un dominio euclidiano es un dominio integral que puede estar dotado de al menos una función euclidiana. Es importante notar que una función euclidiana particular f no es parte de la estructura de un dominio euclidiano; en general, un dominio euclidiano admitirá muchas funciones euclidianas diferentes.
Sin embargo, se puede demostrar que (EF1) solo es suficiente para definir un dominio euclidiano. Si un dominio integral R está dotado de una función g que satisface (EF1), entonces R también puede estar dotado de una función que satisface (EF1) y (EF2) simultáneamente. De hecho, para a ∈ R \{0 }, se puede definir f ( a ) de la siguiente manera: [1]