espacio euclidiano
El espacio euclidiano es el espacio fundamental de la geometría clásica . Originalmente, era el espacio tridimensional de la geometría euclidiana , pero en las matemáticas modernas existen espacios euclidianos de cualquier dimensión entera no negativa , [1] incluyendo el espacio tridimensional y el plano euclidiano (dimensión dos). Fue introducido por el matemático griego antiguo Euclides de Alejandría , [2] y el calificativo euclidiano se usa para distinguirlo de otros espacios que se descubrieron más tarde en la física y las matemáticas modernas.
Los antiguos geómetras griegos introdujeron el espacio euclidiano para modelar el universo físico . Su gran innovación fue demostrar todas las propiedades del espacio como teoremas a partir de unas pocas propiedades fundamentales, llamadas postulados , que o bien se consideraban evidentes (por ejemplo, hay exactamente una línea recta que pasa por dos puntos), o bien parecían imposibles de demostrar. probar ( postulado paralelo ).
Después de la introducción a finales del siglo XIX de geometrías no euclidianas , los antiguos postulados fueron reformalizados para definir espacios euclidianos a través de la teoría axiomática . Se ha demostrado que otra definición de espacios euclidianos por medio de espacios vectoriales y álgebra lineal es equivalente a la definición axiomática. Es esta definición la que se usa más comúnmente en las matemáticas modernas y se detalla en este artículo. [3]
En todas las definiciones, los espacios euclidianos consisten en puntos, que se definen solo por las propiedades que deben tener para formar un espacio euclidiano.
Esencialmente, solo hay un espacio euclidiano de cada dimensión; es decir, todos los espacios euclidianos de una dimensión dada son isomorfos . Por lo tanto, en muchos casos, es posible trabajar con un espacio euclidiano específico, que generalmente es el espacio n real equipado con el producto punto . Un isomorfismo de un espacio euclidiano a asocia con cada punto una n -tupla de números reales que ubican ese punto en el espacio euclidiano y se denominan coordenadas cartesianas de ese punto.
El espacio euclidiano fue introducido por los antiguos griegos como una abstracción de nuestro espacio físico. Su gran innovación, que apareció en los Elementos de Euclides, fue construir y probar toda la geometría a partir de unas pocas propiedades muy básicas, que se abstraen del mundo físico y no pueden probarse matemáticamente debido a la falta de herramientas más básicas. Estas propiedades se denominan postulados o axiomas en lenguaje moderno. Esta forma de definir el espacio euclidiano todavía se usa bajo el nombre de geometría sintética .
