De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación Saltar a búsqueda
Si la suma de los ángulos interiores α y β es menor que 180 °, las dos rectas, producidas indefinidamente, se encuentran en ese lado.

En geometría , el postulado de las paralelas , también llamado Euclides quinto postulado 's porque es el quinto postulado de Euclides Elementos , es un distintivo axioma de la geometría euclidiana . Afirma que, en geometría bidimensional:

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores en el mismo lado que suman menos de dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en el lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Este postulado no habla específicamente de líneas paralelas; [1] es solo un postulado relacionado con el paralelismo. Euclides dio la definición de líneas paralelas en el Libro I, Definición 23 [2] justo antes de los cinco postulados. [3]

La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluido el postulado paralelo.

Durante mucho tiempo se consideró que el postulado era obvio o inevitable, pero las pruebas eran difíciles de alcanzar. Finalmente se descubrió que invertir el postulado daba geometrías válidas, aunque diferentes. Una geometría donde el postulado paralelo no se cumple se conoce como geometría no euclidiana . La geometría que es independiente del quinto postulado de Euclides (es decir, solo asume el equivalente moderno de los primeros cuatro postulados) se conoce como geometría absoluta (o algunas veces "geometría neutra").

Propiedades equivalentes [ editar ]

Probablemente el equivalente más conocido del postulado paralelo de Euclides, que depende de sus otros postulados, es el axioma de Playfair , que lleva el nombre del matemático escocés John Playfair , que afirma:

En un plano, dada una línea y un punto que no está en él, como máximo se puede trazar una línea paralela a la línea dada a través del punto. [4]

Este axioma por sí mismo no es lógicamente equivalente al postulado euclidiano del paralelo, ya que hay geometrías en las que una es verdadera y la otra no. Sin embargo, en presencia de los axiomas restantes que dan la geometría euclidiana, cada uno de estos puede usarse para probar el otro, por lo que son equivalentes en el contexto de la geometría absoluta . [5]

Se han sugerido muchas otras afirmaciones equivalentes al postulado paralelo, algunas de las cuales al principio parecían no estar relacionadas con el paralelismo, y otras parecían tan evidentes que fueron asumidas inconscientemente por personas que afirmaban haber probado el postulado paralelo de los otros postulados de Euclides. . Estas declaraciones equivalentes incluyen:

  1. Hay como máximo una línea que se puede trazar paralela a otra dada a través de un punto externo. ( Axioma de Playfair )
  2. La suma de los ángulos en cada triángulo es 180 ° ( postulado del triángulo ).
  3. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180 °.
  4. La suma de los ángulos es la misma para todos los triángulos.
  5. Existe un par de triángulos similares , pero no congruentes .
  6. Cada triángulo se puede circunscribir .
  7. Si tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos , entonces el cuarto ángulo también es un ángulo recto.
  8. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son ángulos rectos, es decir, un rectángulo .
  9. Existe un par de líneas rectas que están a una distancia constante entre sí.
  10. Dos líneas que son paralelas a la misma línea también son paralelas entre sí.
  11. En un triángulo rectángulo , el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados ( Teorema de Pitágoras ). [6] [7]
  12. La ley de los cosenos , un caso general del teorema de Pitágoras.
  13. No hay límite superior para el área de un triángulo. ( Axioma de Wallis ) [8]
  14. Los ángulos de la cumbre del cuadrilátero de Saccheri son 90 °.
  15. Si una línea se cruza con una de dos líneas paralelas, ambas coplanares con la línea original, entonces también se cruza con la otra. ( Axioma de Proclo ) [9]

Sin embargo, las alternativas que emplean la palabra "paralelo" dejan de parecer tan simples cuando uno se ve obligado a explicar cuál de las cuatro definiciones comunes de "paralelo" se entiende: separación constante, nunca encontrarse, los mismos ángulos están cruzados por una tercera línea, o mismos ángulos donde los cruza cualquiertercera línea, ya que la equivalencia de estos cuatro es en sí misma una de las suposiciones inconscientemente obvias equivalentes al quinto postulado de Euclides. En la lista anterior, siempre se considera que se refiere a líneas que no se cruzan. Por ejemplo, si se toma la palabra "paralelo" en el axioma de Playfair para significar "separación constante" o "los mismos ángulos donde cruza cualquier tercera línea", entonces ya no es equivalente al quinto postulado de Euclides, y se puede demostrar a partir de los cuatro primeros (el axioma dice 'Hay como máximo una línea ...', lo cual es consistente con que no existan tales líneas). Sin embargo, si la definición se toma de modo que las líneas paralelas son líneas que no se intersecan, o que tienen alguna línea que las interseca en los mismos ángulos, el axioma de Playfair es contextualmente equivalente a Euclides '.s quinto postulado y, por tanto, es lógicamente independiente de los primeros cuatro postulados. Tenga en cuenta que las dos últimas definiciones no son equivalentes, porque en la geometría hiperbólica la segunda definición es válida solo paralíneas ultraparalelas .

Historia [ editar ]

Durante dos mil años, se hicieron muchos intentos para probar el postulado paralelo utilizando los primeros cuatro postulados de Euclides. La principal razón por la que tal prueba fue tan buscada fue que, a diferencia de los primeros cuatro postulados, el postulado paralelo no es evidente por sí mismo. Si el orden en que se enumeraron los postulados en los Elementos es significativo, indica que Euclides incluyó este postulado solo cuando se dio cuenta de que no podía probarlo ni proceder sin él. [10] Se hicieron muchos intentos para probar el quinto postulado de los otros cuatro, muchos de ellos fueron aceptados como pruebas durante largos períodos hasta que se encontró el error. Invariablemente, el error fue asumir alguna propiedad 'obvia' que resultó ser equivalente al quinto postulado ( axioma de Playfair). Aunque se conoce desde la época de Proclo, se conoció como el axioma de Playfair después de que John Playfair escribiera un famoso comentario sobre Euclides en 1795 en el que proponía reemplazar el quinto postulado de Euclides por su propio axioma.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los Elementos donde comenta los intentos de prueba para deducir el quinto postulado de los otros cuatro; en particular, señala que Ptolomeo había presentado una "prueba" falsa. Proclo luego pasa a dar una falsa prueba propia. Sin embargo, dio un postulado que es equivalente al quinto postulado.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), un matemático árabe , intentó probar el postulado paralelo utilizando una prueba por contradicción , [11] en el curso de la cual introdujo el concepto de movimiento y transformación en geometría. [12] Formuló el cuadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld denomina el "cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert", [13] y su intento de demostración contiene elementos similares a los que se encuentran en los cuadriláteros de Lambert y el axioma de Playfair . [14]

El matemático, astrónomo, filósofo y poeta persa Omar Khayyám (1050-1123), intentó probar el quinto postulado a partir de otro postulado explícitamente dado (basado en el cuarto de los cinco principios debidos al Filósofo ( Aristóteles ), a saber, "Dos las líneas rectas convergentes se cruzan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen ". [15] Derivó algunos de los resultados anteriores pertenecientes a la geometría elíptica y la geometría hiperbólica , aunque su postulado excluía la última posibilidad. [16] El cuadrilátero de SaccheriTambién fue considerado por primera vez por Omar Khayyám a fines del siglo XI en el Libro I de Explicaciones de las dificultades en los postulados de Euclides . [13] A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido Giovanni Girolamo Saccheri), Khayyám no intentaba probar el postulado paralelo como tal, sino derivarlo de su postulado equivalente. Reconoció que surgían tres posibilidades al omitir el quinto postulado de Euclides; si dos perpendiculares a una línea cruzan otra línea, la elección juiciosa de la última puede hacer que los ángulos internos donde se encuentran las dos perpendiculares sean iguales (entonces es paralelo a la primera línea). Si esos ángulos internos iguales son ángulos rectos, obtenemos el quinto postulado de Euclides; de lo contrario, deben ser agudos u obtusos. Demostró que los casos agudos y obtusos conducían a contradicciones usando su postulado, pero ahora se sabe que su postulado es equivalente al quinto postulado.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), en su Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discusión que elimina la duda sobre las líneas paralelas ) (1250), escribió críticas detalladas del postulado paralelo y en el intento de prueba de Khayyám un siglo antes. Nasir al-Din intentó derivar una prueba contradiciendo el postulado paralelo. [17] También consideró los casos de lo que ahora se conoce como geometría elíptica e hiperbólica, aunque descartó ambos. [dieciséis]

Geometría euclidiana, elíptica e hiperbólica. El Postulado Paralelo se satisface solo para modelos de geometría euclidiana.

El hijo de Nasir al-Din, Sadr al-Din (a veces conocido como " Pseudo-Tusi "), escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en los pensamientos posteriores de su padre, que presentó uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana. equivalente al postulado paralelo. "Básicamente, revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ". [17] [18] Su trabajo fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. Este trabajo marcó el punto de partida para el trabajo de Saccheri sobre el tema [17] que se abrió con una crítica de la obra de Sadr al-Din y la obra de Wallis. [19]

Giordano Vitale (1633-1711), en su libro Euclide restituo (1680, 1686), usó el cuadrilátero Khayyam-Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cima CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes. Girolamo Saccheri (1667-1733) siguió la misma línea de razonamiento más a fondo, obteniendo correctamente el absurdo del caso obtuso (partiendo, como Euclides, de la suposición implícita de que las líneas pueden extenderse indefinidamente y tienen una longitud infinita), pero sin refutar el caso agudo (aunque logró persuadirse erróneamente de que sí).

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como Saccheri, probar el quinto postulado. Trabajó con una figura que hoy llamamos cuadrilátero de Lambert, un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyám, y luego procedió a probar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que hubiera llegado a una contradicción con esta suposición. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos de un triángulo aumenta a medida que el área del triángulo disminuye, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó más lejos esta idea. [20]

Donde Khayyám y Saccheri habían intentado probar el quinto de Euclides refutando las únicas alternativas posibles, el siglo XIX finalmente vio a los matemáticos explorar esas alternativas y descubrir las geometrías lógicamente consistentes que resultan. En 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicó un relato de geometría aguda en una oscura revista rusa (más tarde reeditada en 1840 en alemán). En 1831, János Bolyai incluyó, en un libro de su padre, un apéndice que describía la geometría aguda, que, sin duda, había desarrollado independientemente de Lobachevsky. Carl Friedrich Gauss también había estudiado el problema, pero no publicó ninguno de sus resultados. Al enterarse de los resultados de Bolyai en una carta del padre de Bolyai,Farkas Bolyai , Gauss declaró:

"Si comenzara diciendo que no puedo elogiar este trabajo, seguramente se sorprenderá por un momento. Pero no puedo decir lo contrario. Alabar sería alabarme a mí mismo. De hecho, todo el contenido del trabajo, el camino recorrido por su hijo, los resultados a los que es conducido, coinciden casi por completo con mis meditaciones, que han ocupado mi mente en parte durante los últimos treinta o treinta y cinco años ". [21]

Las geometrías resultantes fueron posteriormente desarrolladas por Lobachevsky , Riemann y Poincaré en geometría hiperbólica (el caso agudo) y geometría elíptica (el caso obtuso). La independencia del postulado paralelo de los otros axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868.

Inverso del postulado paralelo de Euclides [ editar ]

Lo contrario del postulado paralelo: si la suma de los dos ángulos interiores es igual a 180 °, entonces las líneas son paralelas y nunca se intersecarán.

Euclides no postuló lo contrario de su quinto postulado, que es una forma de distinguir la geometría euclidiana de la geometría elíptica . Los Elementos contienen la prueba de un enunciado equivalente (Libro I, Proposición 27): Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, las líneas rectas serán paralelas entre sí. Como señaló De Morgan [22] , esto es lógicamente equivalente a (Libro I, Proposición 16). Estos resultados no dependen del quinto postulado, pero sí requieren el segundo postulado [23] que se viola en la geometría elíptica.

Crítica [ editar ]

Los intentos de probar lógicamente el postulado paralelo, en lugar del octavo axioma, [24] fueron criticados por Arthur Schopenhauer en El mundo como voluntad e idea . Sin embargo, el argumento utilizado por Schopenhauer fue que el postulado es evidente por percepción, no que no sea una consecuencia lógica de los otros axiomas. [25]

Descomposición del postulado paralelo [ editar ]

El postulado paralelo es equivalente, como se muestra en [26] , a la conjunción del Lotschnittaxiom y del axioma de Aristóteles . El primero establece que las perpendiculares a los lados de un ángulo recto se cruzan, mientras que el segundo establece que no hay límite superior para las longitudes de las distancias desde el lado de un ángulo hasta el otro lado.

Ver también [ editar ]

  • Geometría no euclidiana

Notas [ editar ]

  1. ^ geometrías no euclidianas , por la Dra. Katrina Piatek-Jimenez
  2. ^ Elementos de Euclides, Libro I, Definición 23
  3. ^ Elementos de Euclides, Libro I
  4. ^ Postulado paralelo de Euclides y axioma de Playfair
  5. ^ Henderson y Taimiņa 2005 , pág. 139
  6. ^ Eric W. Weisstein (2003), enciclopedia concisa de matemáticas CRC (2ª ed.), P. 2147, ISBN 1-58488-347-2, El postulado paralelo es equivalente al postulado de la equidistancia , el axioma de Playfair , el axioma de Proclus , el postulado del triángulo y el teorema de Pitágoras .
  7. ^ Alexander R. Pruss (2006), El principio de razón suficiente: una reevaluación , Cambridge University Press, p. 11, ISBN 0-521-85959-X, Podríamos incluir ... el postulado paralelo y derivar el teorema de Pitágoras. O, en cambio, podríamos hacer el teorema de Pitágoras entre los otros axiomas y derivar el postulado paralelo.
  8. ↑ Bogomolny, Alexander . "Quinto postulado de Euclides" . Corta el nudo . Consultado el 30 de septiembre de 2011 .
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Axioma de Proclus - MathWorld" . Consultado el 5 de septiembre de 2009 .
  10. ^ Florence P. Lewis (enero de 1920), "Historia del postulado paralelo", The American Mathematical Monthly , The American Mathematical Monthly, vol. 27, núm. 1, 27 (1): 16–23, doi : 10.2307 / 2973238 , JSTOR 2973238 . 
  11. ^ Katz 1998 , pág. 269
  12. ^ Katz 1998 , p. 269:

    En efecto, este método caracterizó las líneas paralelas como líneas siempre equidistantes entre sí y también introdujo el concepto de movimiento en la geometría.

  13. ↑ a b Rozenfeld , 1988 , p. sesenta y cinco
  14. ^ Smith 1992
  15. ^ Boris A Rosenfeld y Adolf P Youschkevitch (1996), Geometry , p.467 en Roshdi Rashed, Régis Morelon (1996), Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , Routledge, ISBN 0-415-12411-5 . 
  16. ^ a b Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, pág. 447-494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:

    "El postulado de Khayyam había excluido el caso de la geometría hiperbólica mientras que el postulado de al-Tusi descartaba tanto la geometría hiperbólica como la elíptica".

  17. ↑ a b c Katz , 1998 , pág. 271:

    "Pero en un manuscrito probablemente escrito por su hijo Sadr al-Din en 1298, basado en los pensamientos posteriores de Nasir al-Din sobre el tema, hay un nuevo argumento basado en otra hipótesis, también equivalente a la de Euclides, [...] La importancia de este último trabajo es que fue publicado en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. En particular, se convirtió en el punto de partida para el trabajo de Saccheri y, en última instancia, para el descubrimiento de la geometría no euclidiana ".

  18. ^ Boris A. Rosenfeld y Adolf P. Youschkevitch (1996), "Geometría", en Roshdi Rashed, ed., Enciclopedia de la historia de la ciencia árabe , vol. 2, pág. 447-494 [469], Routledge , Londres y Nueva York:

    "En la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi , [...] se usa otra declaración en lugar de un postulado. Era independiente del postulado euclidiano V y fácil de probar. [...] Él esencialmente revisó tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados y las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ".

  19. ^ Giovanni Girolamo Saccheri de MacTutor
  20. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF "Johann Heinrich Lambert" . Consultado el 16 de septiembre de 2011 .
  21. ^ Faber 1983 , pág. 161
  22. ^ Heath, TL, Los trece libros de Euclid's Elements , Vol.1, Dover, 1956, pág.309.
  23. ^ Coxeter, HSM, Geometría no euclidiana , 6.a edición, MAA 1998, pg.3
  24. ↑ Schopenhauer se refiere a la Noción común 4 de Euclides: las figuras que coinciden entre sí son iguales entre sí.
  25. ^ http://www.gutenberg.org/files/40097/40097-pdf.pdf
  26. ^ Pambuccian, Victor (1994), "Zum Stufenaufbau des Parallelenaxioms" , Journal of Geometry , 51 : 79–88

Referencias [ editar ]

  • Carroll, Lewis , Euclid y sus rivales modernos , Dover, ISBN 0-486-22968-8 
  • Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de la geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 0-8247-1748-1
  • Henderson, David W .; Taimiņa, Daina (2005), Experimentando la geometría: euclidiana y no euclidiana con la historia (3.a ed.), Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143748-8
  • Katz, Victor J. (1998), Historia de las matemáticas: Introducción , Addison-Wesley , ISBN 0-321-01618-1, OCLC  38199387
  • Rozenfeld, Boris A. (1988), A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space , Springer Science + Business Media , ISBN 0-387-96458-4, OCLC  15550634
  • Smith, John D. (1992), "The Remarkable Ibn al-Haytham", The Mathematical Gazette , Mathematical Association , 76 (475): 189-198, doi : 10.2307 / 3620392 , JSTOR  3620392

Enlaces externos [ editar ]

  • En las montañas de Gauss

Eder, Michelle (2000), Views of Euclid's Parallel Postulate in Ancient Greece and in Medieval Islam , Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008