En matemáticas , la secuencia de Euler es una secuencia exacta particular de haces en el espacio proyectivo n- dimensional sobre un anillo . Muestra que la gavilla de diferenciales relativos es establemente isomorfa a una suma de ( n + 1) pliegues del dual de la gavilla torcida de Serre .
La secuencia de Euler se generaliza a la de un paquete proyectivo , así como a un paquete de Grassmann (ver el último artículo para esta generalización).
Declaración
Para A un anillo, hay una secuencia exacta de roldanas
Se puede demostrar definiendo un homomorfismo. con y en grado 1, sobreyectiva en grados y comprobar que localmente en los gráficos estándar n + 1 el núcleo es isomorfo al módulo diferencial relativo. [1]
Interpretación geométrica
Suponemos que A es un campo k .
La secuencia exacta anterior es equivalente a la secuencia
- ,
donde el último término distinto de cero es la gavilla tangente .
Consideramos V un espacio vectorial dimensional n + 1 sobre k , y explicamos la secuencia exacta
Esta secuencia se entiende más fácilmente mediante la interpretación del término central como la gavilla de 1-homogéneos campos de vectores en el espacio vectorial V . Existe una sección notable de este haz, el campo vectorial de Euler , definido tautológicamente al asociar a un punto del espacio vectorial el vector tangente idénticamente asociado ( es decir, él mismo: es el mapa de identidad visto como un campo vectorial).
Este campo vectorial es radial en el sentido de que se desvanece uniformemente en funciones homogéneas 0, es decir, las funciones que son invariantes por reescalado homotético, o " independientes de la coordenada radial ".
Una función (definida en algún conjunto abierto) en da lugar por retroceso a una función 0-homogénea en V (de nuevo parcialmente definida). Obtenemos campos vectoriales homogéneos 1 multiplicando el campo vectorial de Euler por tales funciones. Ésta es la definición del primer mapa, y su inyectividad es inmediata.
El segundo mapa está relacionado con la noción de derivación, equivalente a la de campo vectorial. Recuerde que un campo vectorial en un conjunto abierto U del espacio proyectivopuede definirse como una derivación de las funciones definidas en este conjunto abierto. Retirado en V , esto equivale a una derivación de la preimagen de U que conserva las funciones homogéneas a 0. Cualquier campo de vector en así se puede obtener, y el defecto de inyectividad de este mapeo consiste precisamente en los campos vectoriales radiales.
Vemos, por tanto, que el núcleo del segundo morfismo se identifica con el rango del primero.
El paquete de líneas canónicas de espacios proyectivos
Al tomar el poder exterior más alto , uno ve que el haz canónico de un espacio proyectivo está dado por
.
En particular, los espacios proyectivos son variedades de Fano , porque el paquete canónico es anti- amplio y este paquete de líneas no tiene secciones globales distintas de cero, por lo que el género geométrico es 0. Esto se puede encontrar observando la secuencia de Euler y conectándolo a la fórmula determinante
para cualquier breve secuencia exacta del formulario .
Clases de Chern
La secuencia de Euler se puede utilizar para calcular las clases Chern de espacio proyectivo. Recuerde que dada una breve secuencia exacta de haces coherentes
podemos calcular la clase chern total de con la formula . [3] Por ejemplo, en encontramos
dónde representa la clase de hiperplano en el anillo de comida . Usando la secuencia exacta
podemos usar de nuevo la fórmula de la clase chern total para encontrar
ya que necesitamos invertir el polinomio en el denominador, esto equivale a encontrar una serie de potencias tal que .
Notas
- ^ Teorema II.8.13 en Hartshorne 1977
- ^ Vakil, Ravi. Mar naciente (PDF) . 386. Archivado desde el original (PDF) el 30/11/2019.Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )
- ^ "3264 y todo eso" (PDF) . pag. 169.
- ^ Tenga en cuenta que en el anillo de comida por razones de dimensión.
- ^ Arapura, Donu. "Cálculo de algunos números de Hodge" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 1 de febrero de 2020.
Referencias
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3