Gavilla cotangente

En geometría algebraica, dado un morfismo f : X → S de esquemas, la gavilla cotangente en X es la gavilla de -módulos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ que representa (o clasifica) S - derivaciones ^[1] en el sentido: para cualquier -módulo F , hay un isomorfismo${\displaystyle \Omega _{X/S}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X/S},F)=\operatorname {Der} _{S}({\mathcal {O}}_{X},F)}$

que depende naturalmente de F . En otras palabras, la gavilla cotangente se caracteriza por la propiedad universal: existe el diferencial tal que cualquier S es un factor de derivación como con algunos .${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{X}\to \Omega _{X/S}}$${\displaystyle D:{\mathcal {O}}_{X}\to F}$${\displaystyle D=\alpha \circ d}$${\displaystyle \alpha :\Omega _{X/S}\to F}$

En el caso de que X y S sean esquemas afines, la definición anterior significa que es el módulo de los diferenciales de Kähler . La manera estándar para construir una gavilla cotangente (por ejemplo, Hartshorne, Ch II. § 8) es a través de un morfismo diagonal (que asciende a pegar módulos de diferenciales Kähler en los gráficos afines para obtener la gavilla cotangente definido globalmente.) El módulo dual de la gavilla cotangente en un esquema X se llama la gavilla tangente en X y a veces se denota por . ^[2]${\displaystyle \Omega _{X/S}}$${\displaystyle \Theta _{X}}$

Hay dos secuencias exactas importantes:

1. Si S → T es un morfismo de esquemas, entonces

   ${\displaystyle f^{*}\Omega _{S/T}\to \Omega _{X/T}\to \Omega _{X/S}\to 0.}$

2. Si Z es un subesquema cerrado de X con gavilla ideal I , entonces

   ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{X/S}\otimes _{O_{X}}{\mathcal {O}}_{Z}\to \Omega _{Z/S}\to 0.}$^{[3] [4]}

La gavilla cotangente está estrechamente relacionada con la suavidad de una variedad o esquema. Por ejemplo, una variedad algebraica es suave de dimensión n si y solo si Ω _X es un haz localmente libre de rango n . ^[5]

Construcción a través de un morfismo diagonal.

Ver también: Paquete cotangente § Definición formal

Sea un morfismo de esquemas como en la introducción y Δ: X → X × _S X el morfismo diagonal. Entonces, la imagen de Δ se cierra localmente ; es decir, cerrada en algún subconjunto abierto W de X × _S X (la imagen se cierra si y sólo si f está separada ). Deja que sea la gavilla ideal de Δ ( X ) en W . Uno luego pone:${\displaystyle f:X\to S}$

${\displaystyle \Omega _{X/S}=\Delta ^{*}(I/I^{2})}$

y comprueba que este haz de módulos satisface la propiedad universal requerida de un haz cotangente (Hartshorne, Cap. II. Observación 8.9.2). La construcción muestra en particular que la gavilla cotangente es casi coherente . Es coherente si S es noetheriano y f es de tipo finito.

Los medios de definición anterior que la gavilla cotangente en X es la restricción a X de la gavilla conormal a la incrustación diagonal de X sobre S .

Ver también: paquete de partes principales

Relación con un paquete de líneas tautológicas

Artículo principal: secuencia de Euler

La gavilla cotangente en un espacio proyectivo se relaciona con el haz de líneas tautológicas O (-1) por la siguiente secuencia exacta: escritura para el espacio proyectivo sobre un anillo R ,${\displaystyle \mathbf {P} _{R}^{n}}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathbf {P} _{R}^{n}/R}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}(-1)^{\oplus (n+1)}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} _{R}^{n}}\to 0.}$

(Ver también clase Chern # Espacio proyectivo complejo ).

Pila cotangente

Para esta noción, ver § 1 de

A. Beilinson y V. Drinfeld, Cuantización del sistema integrable de Hitchin y Eigensheaves de Hecke [1] ^[6]

Allí, la pila cotangente en una pila algebraica X se define como la relación Spec de la álgebra simétrica de la gavilla tangente en X . (Nota: en general, si E es una gavilla localmente libre de rango finito, es el vector algebraico paquete correspondiente a E . ^{[ Cita requerida ]} )${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} ({\check {E}}))}$

Ver también: Fibra de Hitchin (la pila cotangente de es el espacio total de la fibración de Hitchin).${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)}$

Notas

1. https://stacks.math.columbia.edu/tag/08RL
2. En términos concisos, esto significa:

   ${\displaystyle \Theta _{X}{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}(\Omega _{X},{\mathcal {O}}_{X})={\mathcal {D}}er({\mathcal {O}}_{X}).}$

3. Hartshorne , cap. II, Proposición 8.12. harvnb error: no target: CITEREFHartshorne (help)
4. https://mathoverflow.net/q/79956 así como ( Hartshorne , Cap. II, Teorema 8.17.) harv error: no target: CITEREFHartshorne (help)
5. Hartshorne , cap. II, Teorema 8.15. harvnb error: no target: CITEREFHartshorne (help)
6. ver también: § 3 de http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/grad_2009/SeminarNotes/Sept22(Dmodstack1).pdf

Ver también

• complejo cotangente

Referencias

• "Gavilla de diferenciales de un morfismo" .
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157

enlaces externos

• "Preguntas sobre paquete tangente y cotangente en esquemas" . Stack Exchange . 2 de noviembre de 2014.