En matemáticas , el paquete tautológico es un paquete de vectores que ocurre sobre un Grassmanniano de una manera tautológica natural: para un Grassmanniano desubespacios dimensionales de , dado un punto en el Grassmanniano correspondiente a un subespacio vectorial dimensional , la fibra sobre es el subespacio sí mismo. En el caso del espacio proyectivo, el paquete tautológico se conoce como paquete de líneas tautológicas.
El paquete tautológico también se denomina paquete universal, ya que cualquier paquete de vectores (sobre un espacio compacto [1] ) es un retroceso del paquete tautológico; es decir, Grassmannian es un espacio de clasificación para paquetes de vectores. Debido a esto, el paquete tautológico es importante en el estudio de clases características .
Los paquetes tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el haz de líneas tautológicas (como haz invertible ) es
el dual del paquete hiperplano o la gavilla giratoria de Serre . El paquete de hiperplano es el paquete de líneas correspondiente al hiperplano ( divisor ) en El haz de la línea tautológica y el haz del hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo Picard del espacio proyectivo. [2]
En la "teoría K" de Michael Atiyah , el conjunto de líneas tautológicas sobre un espacio proyectivo complejo se denomina conjunto de líneas estándar . El paquete de esferas del paquete estándar generalmente se llama paquete de Hopf . (cf. generador de Bott .)
De manera más general, también hay paquetes tautológicos en un paquete proyectivo de un paquete de vectores, así como en un paquete de Grassmann .
El término canónico más antiguo ha caído en desgracia, sobre la base de que canónico está muy sobrecargado en terminología matemática, y (peor) la confusión con la clase canónica en geometría algebraica difícilmente podría evitarse.
Definición intuitiva
Grassmannians, por definición, son los espacios de parámetros para subespacios lineales , de una dimensión dada, en un determinado espacio vectorial W . Si G es un Grassmanniano, y V g es el subespacio de W correspondiente ag en G , estos ya son casi los datos requeridos para un paquete de vectores: es decir, un espacio vectorial para cada punto g , que varía continuamente. Todo lo que puede detener la definición del paquete tautológico a partir de esta indicación, es la dificultad de que las V g vayan a cruzarse. Arreglar esto es una aplicación rutinaria del dispositivo de unión disjunta , de modo que la proyección del haz es de un espacio total formado por copias idénticas de la V g , que ahora no se cruzan. Con esto, tenemos el paquete.
Se incluye el caso del espacio proyectivo. Por convención y uso, P ( V ) puede llevar el paquete tautológico en el sentido del espacio dual . Es decir, con V * el espacio dual, los puntos de P ( V ) llevan los subespacios vectoriales de V * que son sus núcleos, cuando se consideran (rayos de) funcionales lineales en V * . Si V tiene dimensión n + 1, el paquete de líneas tautológicas es un paquete tautológico y el otro, que se acaba de describir, es de rango n .
Definicion formal
Dejar ser el Grassmanniano de subespacios vectoriales n- dimensionales encomo conjunto es el conjunto de todos los subespacios vectoriales n- dimensionales dePor ejemplo, si n = 1, es el espacio k proyectivo real .
Definimos el paquete tautológico γ n , k sobrecomo sigue. El espacio total del paquete es el conjunto de todos los pares ( V , v ) que consta de un punto V del Grassmanniano y un vector v en V ; se le da la topología subespacial del producto cartesianoEl mapa de proyección π está dada por π ( V , v ) = V . Si F es la preimagen de V bajo π, se le da una estructura de un espacio vectorial por a ( V , v ) + b ( V , w ) = ( V , av + bw ). Finalmente, para ver la trivialidad local, dado un punto X en el Grassmanniano, sea U el conjunto de todo V tal que la proyección ortogonal p sobre X mapee V isomórficamente sobre X , [3] y luego defina
que es claramente un homeomorfismo. Por tanto, el resultado es un conjunto de vectores de rango n .
La definición anterior sigue teniendo sentido si reemplazamos con el campo complejo
Por definición, el Grassmanniano infinito es el límite directo de como Tomando el límite directo de los paquetes γ n , k da el paquete tautológico γ n deEs un paquete universal en el sentido: para cada espacio compacto X , hay una biyección natural
donde a la izquierda el corchete significa clase de homotopía y a la derecha está el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores reales de rango n . El mapa inverso se da de la siguiente manera: dado que X es compacto, cualquier paquete de vectores E es un subpaquete de un paquete trivial:para algunos k y así E determina un mapa
único hasta la homotopía.
Observación : A su vez, se puede definir un paquete tautológico como un paquete universal; supongamos que hay una biyección natural
para cualquier espacio paracompacto X . Desde es el límite directo de los espacios compactos, es paracompacto y, por lo tanto, hay un paquete de vectores único sobre que corresponde al mapa de identidad en Es precisamente el paquete tautológico y, por restricción, se obtienen los paquetes tautológicos sobre todo
Paquete Hyperplane
El paquete hiperplano H en un k -espacio proyectivo real se define de la siguiente manera. El espacio total de H es el conjunto de todos los pares ( L , f ) que consta de una línea L que pasa por el origen eny f lineal funcional en L . El mapa de proyección π viene dado por π ( L , f ) = L (de modo que la fibra sobre L es el espacio vectorial dual de L ). El resto es exactamente como el haz de líneas tautológicas.
En otras palabras, H es el paquete dual del paquete de líneas tautológicas.
En geometría algebraica, el paquete de hiperplano es el paquete de líneas (como haz invertible ) correspondiente al divisor de hiperplano
dado como, digamos, x 0 = 0, cuando x i son las coordenadas homogéneas . Esto se puede ver de la siguiente manera. Si D es un divisor (Weil) enuno define el paquete de línea correspondiente O ( D ) en X por
donde K es el campo de funciones racionales sobre X . Tomando D por H , tenemos:
donde x 0 es, como de costumbre, visto como una sección global de la gavilla retorcida O (1). (De hecho, el isomorfismo anterior es parte de la correspondencia habitual entre los divisores de Weil y los divisores de Cartier). Finalmente, el dual de la gavilla retorcida corresponde al haz de líneas tautológicas (ver más abajo).
Paquete de líneas tautológicas en geometría algebraica
En geometría algebraica, esta noción existe sobre cualquier campo k . La definición concreta es la siguiente. Dejar y . Tenga en cuenta que tenemos:
donde Spec es Spec relativa . Ahora, pon:
donde I es la gavilla ideal generada por secciones globales. Entonces L es un subesquema cerrado de sobre el mismo esquema base ; Además, los puntos cerrados de L son exactamente los ( x , y ) detal que x es cero o la imagen de x enes y . Por lo tanto, L es el conjunto de líneas tautológicas como se definió anteriormente si k es el campo de números reales o complejos.
En términos más concisos, L es la explosión del origen del espacio afín, donde el lugar geométrico x = 0 en L es el divisor excepcional . (cf. Hartshorne, cap. I, al final del § 4.)
En general, es el conjunto de vectores algebraicos correspondiente a un haz E localmente libre de rango finito. [4] Dado que tenemos la secuencia exacta:
el haz de líneas tautológicas L , como se definió anteriormente, corresponde a la línea dualde la gavilla retorcida de Serre . En la práctica, ambas nociones (haz de líneas tautológicas y el doble de la gavilla retorcida) se utilizan indistintamente.
Sobre un campo, su paquete de línea dual es el paquete de línea asociado al divisor de hiperplano H , cuyas secciones globales son las formas lineales . Su clase de Chern es - H . Este es un ejemplo de un conjunto de líneas anti- amplio . Encima esto equivale a decir que es un conjunto de líneas negativas, lo que significa que menos su clase Chern es la clase de Rham de la forma estándar de Kähler.
Hechos
- El paquete de líneas tautológicas γ 1, k es localmente trivial pero no trivial , para k ≥ 1. Esto sigue siendo cierto en otros campos. [ cita requerida ]
De hecho, es sencillo demostrar que, para k = 1, el conjunto de líneas tautológicas reales no es otro que el conocido conjunto cuyo espacio total es la tira de Möbius . Para obtener una prueba completa del hecho anterior, consulte. [5]
- El grupo de líneas Picard se agrupa enes cíclico infinito , y el haz de líneas tautológicas es un generador.
- En el caso del espacio proyectivo, donde el haz tautológico es un haz de líneas , el haz de secciones invertible asociado es, el tensor inverso ( es decir, el paquete de vector dual) del paquete de hiperplano o haz de torsión de Serre ; en otras palabras, el paquete hiperplano es el generador del grupo Picard que tiene un grado positivo (como divisor ) y el paquete tautológico es su opuesto: el generador de grado negativo.
Ver también
- Paquete Hopf
- Clase Stiefel-Whitney
- Secuencia de Euler
- Clase Chern (las clases Chern de paquetes tautológicos son los generadores algebraicamente independientes del anillo de cohomología del Grassmanniano infinito).
- Teorema de Borel
- El espacio de Thom (los espacios de Thom de los paquetes tautológicos γ n cuando n → ∞ se denominan espectro de Thom ).
- Paquete de Grassmann
Referencias
- ^ Sobre una base no compacta pero paracompacta, esto sigue siendo cierto siempre que se utilice Grassmannian infinito.
- ^ En la literatura y los libros de texto, a menudo se les llama generadores canónicos.
- ^ U está abierto desde se le da una topología tal que
- ^ Nota editorial: esta definición difiere de Hartshorne en que no toma dual, pero es consistente con la práctica estándar y las otras partes de Wikipedia.
- ^ Milnor-Stasheff , §2. Teorema 2.1.
Fuentes
- Atiyah, Michael Francis (1989), teoría K , Advanced Book Classics (2a ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, MR 1043170
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523.
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 , OCLC 13348052.
- [M + S] John Milnor y Jim Stasheff , Clases de características , Princeton, 1974.
- Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3