Una espiral de Euler es una curva cuya curvatura cambia linealmente con la longitud de su curva (la curvatura de una curva circular es igual al recíproco del radio). Espirales de Euler también se les conoce comúnmente como Spiros , clotoides , o espirales Cornu .
Las espirales de Euler tienen aplicaciones para cálculos de difracción . También se utilizan ampliamente como curvas de transición en ingeniería ferroviaria / ingeniería de carreteras para conectar y hacer la transición de la geometría entre una tangente y una curva circular. También se encuentra una aplicación similar en los circuitos integrados fotónicos . El principio de variación lineal de la curvatura de la curva de transición entre una tangente y una curva circular define la geometría de la espiral de Euler:
- Su curvatura comienza con cero en la sección recta (la tangente) y aumenta linealmente con la longitud de la curva.
- Donde la espiral de Euler se encuentra con la curva circular, su curvatura se vuelve igual a la de esta última.
Aplicaciones
Seguimiento de la curva de transición
Para viajar a lo largo de una trayectoria circular, un objeto debe estar sujeto a una aceleración centrípeta (por ejemplo: la Luna gira alrededor de la Tierra debido a la gravedad; un automóvil gira sus ruedas delanteras hacia adentro para generar una fuerza centrípeta). Si un vehículo que viaja en una trayectoria recta cambiara repentinamente a una trayectoria circular tangencial, requeriría una aceleración centrípeta que cambiara repentinamente en el punto tangente de cero al valor requerido; esto sería difícil de lograr (piense en un conductor que mueve instantáneamente el volante de la línea recta a la posición de giro, y el automóvil realmente lo hace), ejerciendo tensión mecánica en las partes del vehículo y causando mucha incomodidad (debido a una sacudida lateral ).
En los primeros ferrocarriles, esta aplicación instantánea de fuerza lateral no era un problema, ya que se empleaban velocidades bajas y curvas de radio amplio (las fuerzas laterales sobre los pasajeros y el balanceo lateral eran pequeñas y tolerables). A medida que las velocidades de los vehículos ferroviarios aumentaron a lo largo de los años, se hizo evidente que es necesaria una servidumbre, de modo que la aceleración centrípeta aumenta linealmente con la distancia recorrida. Dada la expresión de la aceleración centrípetav 2/r, la solución obvia es proporcionar una curva de servidumbre cuya curvatura, 1/R, aumenta linealmente con la distancia recorrida. Esta geometría es una espiral de Euler.
Sin conocer la solución de la geometría de Leonhard Euler , Rankine citó la curva cúbica (una curva polinomial de grado 3), que es una aproximación de la espiral de Euler para pequeños cambios angulares de la misma manera que una parábola es una aproximación a una circular. curva.
Marie Alfred Cornu (y más tarde algunos ingenieros civiles) también resolvieron el cálculo de la espiral de Euler de forma independiente. Las espirales de Euler ahora se utilizan ampliamente en la ingeniería ferroviaria y de carreteras para proporcionar una transición o una servidumbre entre una tangente y una curva circular horizontal.
Óptica
La espiral de Cornu se puede utilizar para describir un patrón de difracción . [1] Considere una onda plana con amplitud fasorial E 0 e - jkz que es difractada por un "filo de cuchillo" de altura h por encima de x = 0 en el plano z = 0 . Entonces, el campo de ondas difractadas se puede expresar como
,
donde Fr ( x ) es la función integral de Fresnel, que forma la espiral Cornu en el plano complejo.
Entonces, para simplificar el cálculo de la atenuación de la onda plana a medida que se difracta desde el filo de la navaja, se puede usar el diagrama de una espiral Cornu representando las cantidades Fr ( a ) - Fr ( b ) como las distancias físicas entre los puntos representados. por Fr ( a ) y Fr ( b ) para a y b apropiados . Esto facilita un cálculo aproximado de la atenuación de la onda plana por el filo de la cuchilla de altura h en una ubicación ( x , z ) más allá del filo de la cuchilla.
Óptica integrada
Las curvas con un radio de curvatura que varía continuamente siguiendo la espiral de Euler también se utilizan para reducir las pérdidas en los circuitos integrados fotónicos , ya sea en guías de ondas monomodo , [2] [3] para suavizar el cambio abrupto de curvatura y acoplamiento a modos de radiación, o en guías de ondas multimodo , [4] para suprimir el acoplamiento a modos de orden superior y garantizar un funcionamiento monomodo eficaz. Ya en 1957 se había realizado una aplicación pionera y muy elegante de la espiral de Euler a las guías de ondas, [5] con una guía de ondas de metal hueco para microondas. Allí, la idea era aprovechar el hecho de que una guía de ondas de metal recta se puede doblar físicamente para adoptar de forma natural una forma de curvatura gradual que se asemeja a una espiral de Euler.
Carrera de autos
El autor de deportes de motor Adam Brouillard ha demostrado el uso de la espiral de Euler para optimizar la línea de carrera durante la parte de entrada de una curva. [6]
Tipografía y dibujo vectorial digital
Raph Levien lanzó Spiro como un conjunto de herramientas para el diseño de curvas, especialmente el diseño de fuentes, en 2007 [7] [8] bajo una licencia gratuita. Este conjunto de herramientas se implementó con bastante rapidez después en la herramienta de diseño de fuentes Fontforge y en el dibujo vectorial digital Inkscape .
Proyección cartográfica
Cortar una esfera a lo largo de una espiral con ancho 1/nortey al aplanar la forma resultante se obtiene una espiral de Euler cuando n tiende al infinito. [9] Si la esfera es el globo terráqueo , esto produce una proyección cartográfica cuya distorsión tiende a cero cuando n tiende al infinito. [10]
Formas de bigotes
Las formas naturales de las vibrisas de almohadilla mystacial de rata ( bigotes ) se aproximan bien por los trozos de la espiral de Euler. Cuando se ensamblan todas estas piezas para una sola rata, abarcan un intervalo que se extiende desde un dominio enrollado de la espiral de Euler al otro. [11]
Formulación
Simbolos
R Radio de curvatura R c Radio de curva circular al final de la espiral. θ Ángulo de la curva desde el comienzo de la espiral ( R infinita ) hasta un punto particular de la espiral. Esto también se puede medir como el ángulo entre la tangente inicial y la tangente en el punto en cuestión.
θ s Ángulo de la curva espiral completa L , s Longitud medida a lo largo de la curva en espiral desde su posición inicial L s , s o Longitud de la curva en espiral
Derivación |
---|
El gráfico de la derecha ilustra una espiral de Euler utilizada como curva de servidumbre (transición) entre dos curvas dadas, en este caso una línea recta (el eje x negativo ) y un círculo. La espiral comienza en el origen en la dirección x positiva y gira gradualmente en sentido antihorario para oscular el círculo. La espiral es un pequeño segmento de la espiral de Euler de doble extremo anterior en el primer cuadrante.
|
Ampliación integral de Fresnel
Si a = 1 , que es el caso de la curva de Euler normalizada, entonces las coordenadas cartesianas están dadas por integrales de Fresnel (o integrales de Euler):
Normalización y conclusión
Para una curva de Euler dada con:
o
luego
dónde
El proceso de obtención de la solución de ( x , y ) de una espiral de Euler se puede describir como:
- Mapa L de la espiral original Euler multiplicando con el factor de una a L ' de la espiral Euler normalizado;
- Encuentre ( x ′, y ′) a partir de las integrales de Fresnel; y
- Mapear ( x ′, y ′) a ( x , y ) escalando (desnormalizar) con el factor1/a. Tenga en cuenta que1/a> 1 .
En el proceso de normalización,
Luego
Generalmente, la normalización reduce L ′ a un valor pequeño (menos de 1) y da como resultado buenas características convergentes de la integral de Fresnel manejables con solo unos pocos términos (a un precio de mayor inestabilidad numérica del cálculo, especialmente para valores mayores de θ ). .
Ilustración
Dado:
Luego
y
Reducimos la espiral de Euler en √60 000 , es decir, 100√ 6 a normalizada Euler espiral que tiene:
y
Los dos ángulos θ s son iguales. Esto confirma así que las espirales de Euler originales y normalizadas son geométricamente similares. El locus de la curva normalizada se puede determinar a partir de Fresnel Integral, mientras que el locus de la espiral de Euler original se puede obtener escalando o desnormalizando.
Otras propiedades de las espirales de Euler normalizadas
Las espirales de Euler normalizadas se pueden expresar como:
o expresado como series de potencias :
La espiral de Euler normalizada convergerá a un solo punto en el límite cuando el parámetro L se acerque al infinito, que se puede expresar como:
Las espirales de Euler normalizadas tienen las siguientes propiedades:
y
Tenga en cuenta que 2 R c L s = 1 también significa1/R c= 2 L s , de acuerdo con el último enunciado matemático.
Ver también
Referencias
Notas
- ^ Eugene Hecht (1998). Óptica (3ª ed.). Addison-Wesley. pag. 491. ISBN 978-0-201-30425-1.
- ^ Kohtoku, M .; et al. (7 de julio de 2005). "Nuevas técnicas de fabricación de guías de ondas para PLC de próxima generación" (PDF) . Revisión técnica de NTT . 3 (7): 37–41 . Consultado el 24 de enero de 2017 .
- ^ Li, G .; et al. (11 de mayo de 2012). "Enrutamiento de guía de onda óptica SOI de alta densidad y pérdida ultrabaja para interconexiones de macrochip" . Optics Express . 20 (11): 12035–12039. doi : 10.1364 / OE.20.012035 . PMID 22714189 .
- ^ Cherchi, M .; et al. (18 de julio de 2013). "Reducción espectacular del tamaño de las curvas de la guía de ondas en una plataforma fotónica de silicio a escala micrométrica". Optics Express . 21 (15): 17814–17823. arXiv : 1301.2197 . doi : 10.1364 / OE.21.017814 . PMID 23938654 .
- ^ Unger, HG (septiembre de 1957). "Curvas de modo normal para ondas eléctricas circulares". Revista técnica de Bell System . 36 (5): 1292–1307. doi : 10.1002 / j.1538-7305.1957.tb01509.x .
- ^ Desarrollo, controlador de cambio de paradigma; Brouillard, Adam (18 de marzo de 2016). La esquina perfecta: una guía paso a paso del conductor para encontrar su propia línea óptima a través de la física de las carreras . Libros de deportes de motor de Paradigm Shift. ISBN 9780997382426.
- ^ http://levien.com/spiro/
- ^ http://www.typophile.com/node/33531
- ^ Bartholdi, Laurent; Henriques, André (2012). "Cáscaras de naranja e integrales de Fresnel". El inteligente matemático . 34 (3): 1–3. arXiv : 1202.3033 . doi : 10.1007 / s00283-012-9304-1 . ISSN 0343-6993 .
- ^ "Una proyección de mapa extraño (Euler Spiral) - Numberphile" .
- ^ Starostin, EL; et al. (15 de enero de 2020). "La espiral de Euler de bigotes de rata" . Avances científicos . 6 (3): eaax5145. doi : 10.1126 / sciadv.aax5145 .
Fuentes
Otras lecturas
- Kellogg, Norman Benjamin (1907). La curva de transición o curva de ajuste (3ª ed.). Nueva York: McGraw.
- Weisstein, Eric W. "Cornu Spiral" . MathWorld .
- R. Nave, The Cornu spiral , Hyperphysics (2002) (Usa πt² / 2 en lugar de t².)
- Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. Nueva York: Dover, 1972 (véase el capítulo 7).
- "Formas de bucle de montaña rusa" . Consultado el 12 de noviembre de 2010 .
enlaces externos
- Espiral de Euler en curvas matemáticas 2-D
- Ejemplo interactivo con JSXGraph
- Proyección cartográfica en espiral de Euler