Transformación de secuencia

En matemáticas , una transformación de secuencia es un operador que actúa sobre un espacio de secuencias dado (un espacio de secuencia ). Las transformaciones de secuencia incluyen asignaciones lineales como la convolución con otra secuencia y la reanudación de una secuencia y, de manera más general, se usan comúnmente para la aceleración de series , es decir, para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia o serie lentamente convergente . Las transformaciones de secuencia también se usan comúnmente para calcular el antilímite de una serie divergentenuméricamente, y se utilizan junto con métodos de extrapolación .

Resumen

Los ejemplos clásicos de transformaciones de secuencia incluyen la transformada binomial , la transformada de Möbius , la transformada de Stirling y otras.

Definiciones

Para una secuencia dada

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

la secuencia transformada es

${\displaystyle \mathbf {T} (S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\,}$

donde los miembros de la secuencia transformada generalmente se calculan a partir de un número finito de miembros de la secuencia original, es decir

${\displaystyle s_{n}'=T(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k})}$

para algunos que a menudo depende de (cf. por ejemplo, transformada binomial ). En el caso más simple, el y el son números reales o complejos . De manera más general, pueden ser elementos de algún espacio vectorial o álgebra . ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s_{n}}$${\displaystyle s'_{n}}$

En el contexto de la aceleración de la convergencia, se dice que la secuencia transformada converge más rápido que la secuencia original si

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-\ell }{s_{n}-\ell }}=0}$

donde es el límite de , se supone convergente. En este caso, se obtiene la aceleración de la convergencia . Si la secuencia original es divergente , la transformación de secuencia actúa como método de extrapolación al antilímite .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \ell }$

Si el mapeo es lineal en cada uno de sus argumentos, es decir, para${\displaystyle T}$

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}}$

para algunas constantes (que pueden depender de n ), la transformación de secuencia se denomina transformación de secuencia lineal . Las transformaciones de secuencia que no son lineales se denominan transformaciones de secuencia no lineal .${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$

Ejemplos

Los ejemplos más simples de transformaciones de secuencia (lineales) incluyen el desplazamiento de todos los elementos (resp. = 0 si n  +  k  <0) para una k fija y la multiplicación escalar de la secuencia.${\displaystyle s'_{n}=s_{n+k}}$

Una generalización un poco menos trivial sería la convolución discreta con una secuencia fija. Una forma particularmente básica es el operador de diferencia , que es convolución con la secuencia y es un análogo discreto de la derivada. La transformada binomial es otra transformación lineal de un tipo aún más general.${\displaystyle (-1,1,0,\ldots ),}$

Un ejemplo de una transformación de secuencia no lineal es el proceso delta-cuadrado de Aitken , utilizado para mejorar la tasa de convergencia de una secuencia convergente lenta. Una forma extendida de esto es la transformación de Shanks . La transformada de Möbius también es una transformación no lineal, solo posible para secuencias enteras .

Ver también

• Proceso delta cuadrado de Aitken
• Extrapolación mínima de polinomios
• Extrapolación de Richardson
• Aceleración en serie
• El método de Steffensen

Referencias

• Hugh J. Hamilton, " Teorema de Mertens y transformaciones de secuencia ", AMS (1947)

Enlaces externos

• Transformaciones de secuencias de enteros , una subpágina de la enciclopedia en línea de secuencias de enteros