En matemáticas , la fórmula de inversión clásica de Möbius es una relación entre pares de funciones aritméticas , cada una definida de la otra por sumas sobre divisores . Fue introducido en la teoría de números en 1832 por August Ferdinand Möbius . [1]
Una gran generalización de esta fórmula se aplica a la suma sobre un conjunto arbitrario parcialmente ordenado localmente finito , con la fórmula clásica de Möbius aplicándose al conjunto de los números naturales ordenados por divisibilidad: ver álgebra de incidencia .
Declaración de la fórmula
La versión clásica establece que si g y f son funciones aritméticas que satisfacen
luego
donde μ es la función de Möbius y las sumas se extienden sobre todos los divisores positivos d de n (indicado poren las fórmulas anteriores). En efecto, el f ( n ) original se puede determinar dado g ( n ) usando la fórmula de inversión. Se dice que las dos secuencias son transformaciones de Möbius entre sí.
La fórmula también es correcta si f y g son funciones de los números enteros positivos en algunos grupo abeliano (visto como un ℤ - módulo ).
En el lenguaje de las convoluciones de Dirichlet , la primera fórmula puede escribirse como
donde ∗ denota la convolución de Dirichlet, y 1 es la función constante 1 ( n ) = 1 . La segunda fórmula se escribe entonces como
En el artículo sobre funciones multiplicativas se dan muchos ejemplos específicos .
El teorema sigue porque ∗ es (conmutativo y) asociativo, y 1 ∗ μ = ε , donde ε es la función de identidad para la convolución de Dirichlet, tomando valores ε (1) = 1 , ε ( n ) = 0 para todo n > 1 . Por lo tanto
- .
Hay una versión de producto de la fórmula de inversión de Möbius basada en la suma indicada anteriormente:
Relaciones de serie
Dejar
así que eso
es su transformación. Las transformadas se relacionan mediante series: la serie de Lambert
y la serie Dirichlet :
donde ζ ( s ) es la función zeta de Riemann .
Transformaciones repetidas
Dada una función aritmética, se puede generar una secuencia bi-infinita de otras funciones aritméticas aplicando repetidamente la primera suma.
Por ejemplo, si uno comienza con la función totient de Euler φ , y aplica repetidamente el proceso de transformación, se obtiene:
- φ la función totient
- φ ∗ 1 = I , donde I ( n ) = n es la función de identidad
- I ∗ 1 = σ 1 = σ , la función divisor
Si la función inicial es la propia función de Möbius, la lista de funciones es:
- μ , la función de Möbius
- μ ∗ 1 = ε donde
- es la función de la unidad
- ε ∗ 1 = 1 , la función constante
- 1 ∗ 1 = σ 0 = d = τ , donde d = τ es el número de divisores de n , (ver función divisor ).
Ambas listas de funciones se extienden infinitamente en ambas direcciones. La fórmula de inversión de Möbius permite recorrer estas listas hacia atrás.
Como ejemplo, la secuencia que comienza con φ es:
Las secuencias generadas quizás puedan entenderse más fácilmente considerando la serie de Dirichlet correspondiente : cada aplicación repetida de la transformada corresponde a la multiplicación por la función zeta de Riemann .
Generalizaciones
Una fórmula de inversión relacionada más útil en combinatoria es como sigue: supongamos que F ( x ) y G ( x ) son complejos -valued funciones definidas en el intervalo [1, ∞) tal que
luego
Aquí las sumas se extienden sobre todos los enteros positivos n que son menores o iguales ax .
Este, a su vez, es un caso especial de una forma más general. Si α ( n ) es una función aritmética que posee una inversa de Dirichlet α −1 ( n ) , entonces si se define
luego
La fórmula anterior surge en el caso especial de la función constante α ( n ) = 1 , cuya inversa de Dirichlet es α −1 ( n ) = μ ( n ) .
Una aplicación particular de la primera de estas extensiones surge si tenemos funciones (de valor complejo) f ( n ) y g ( n ) definidas en los enteros positivos, con
Al definir F ( x ) = f (⌊ x ⌋) y G ( x ) = g (⌊ x ⌋) , deducimos que
Un ejemplo simple del uso de esta fórmula es contar el número de fracciones reducidas 0 <a/B<1 , donde a y b son coprimos y b ≤ n . Si dejamos que f ( n ) sea este número, entonces g ( n ) es el número total de fracciones 0 < a/B<1 con b ≤ n , donde un y b no son necesariamente primos entre sí. (Esto se debe a que cada fraccióna/Bcon mcd ( a , b ) = d y b ≤ n se puede reducir a la fraccióna / d/b / d con B/D ≤ norte/Dy viceversa.) Aquí es sencillo determinar g ( n ) = n ( n - 1)/2, pero f ( n ) es más difícil de calcular.
Otra fórmula de inversión es (donde asumimos que las series involucradas son absolutamente convergentes):
Como antes, esto se generaliza al caso donde α ( n ) es una función aritmética que posee una inversa de Dirichlet α −1 ( n ) :
Por ejemplo, no es una prueba bien conocida que relaciona la función zeta de Riemann a la función zeta prima que utiliza el formulario basado en la serie de la inversión de Möbius en la ecuación anterior cuando. Es decir, por la representación del producto de Euler de por
Estas identidades para formas alternativas de inversión de Möbius se encuentran en. [2] Una teoría más general de fórmulas de inversión de Möbius parcialmente citados en la siguiente sección sobre álgebra de incidencia se construye mediante Rota en. [3]
Notación multiplicativa
Como la inversión de Möbius se aplica a cualquier grupo abeliano, no importa si la operación de grupo se escribe como suma o como multiplicación. Esto da lugar a la siguiente variante de notación de la fórmula de inversión:
Pruebas de generalizaciones
La primera generalización se puede demostrar de la siguiente manera. Usamos la convención de Iverson de que [condición] es la función indicadora de la condición, siendo 1 si la condición es verdadera y 0 si es falsa. Usamos el resultado que
es decir, 1 ∗ μ = i .
Tenemos lo siguiente:
La prueba en el caso más general donde α ( n ) reemplaza a 1 es esencialmente idéntica, al igual que la segunda generalización.
En posets
Para un poset P , un conjunto dotado de una relación de orden parcial, define la función de Möbius de P recursivamente por
(Aquí se supone que las sumas son finitas.) Entonces, para , donde K es un anillo conmutativo, tenemos
si y solo si
(Ver Combinatoria enumerativa de Stanley , Vol 1, Sección 3.7.)
Contribuciones de Weisner, Hall y Rota
La declaración de la fórmula de inversión general de Möbius [para conjuntos parcialmente ordenados] fue dada por primera vez de forma independiente por Weisner (1935) y Philip Hall (1936); ambos autores estaban motivados por problemas de teoría de grupos. Ninguno de los autores parece haber sido consciente de las implicaciones combinatorias de su trabajo y ninguno desarrolló la teoría de las funciones de Möbius. En un artículo fundamental sobre las funciones de Möbius, Rota mostró la importancia de esta teoría en la matemática combinatoria y la trató en profundidad. Señaló la relación entre temas como la inclusión-exclusión, la inversión de Möbius de la teoría clásica de los números, los problemas de coloración y los flujos en las redes. Desde entonces, bajo la fuerte influencia de Rota, la teoría de la inversión de Möbius y temas relacionados se ha convertido en un área activa de combinatoria. [4]
Ver también
Notas
- ^ Möbius 1832 , págs. 105-123
- ^ Manual de funciones matemáticas del NIST, sección 27.5.
- ^ [Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria, I. Teoría de las funciones de Möbius | https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF00531932.pdf ]
- ^ Bender y Goldman 1975 , págs. 789–803
Referencias
- Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929 , Zbl 0.335,10001
- Bender, Edward A .; Goldman, J. R. (1975), "Sobre las aplicaciones de la inversión de Möbius en el análisis combinatorio" , Amer. Matemáticas. Mensual , 82 (8): 789–803, doi : 10.2307 / 2319793 , JSTOR 2319793
- Irlanda, K .; Rosen, M. (2010), Una introducción clásica a la teoría de números moderna , Textos de posgrado en matemáticas (Libro 84) (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-3094-1
- Kung, Joseph PS (2001) [1994], "Inversión de Möbius" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Möbius, AF (1832), "Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen". , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9 : 105-123
- Stanley, Richard P. (1997), Combinatoria enumerativa , 1 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1
- Stanley, Richard P. (1999), Combinatoria enumerativa , 2 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-56069-1
enlaces externos
- Fórmula de inversión de Möbius en ProofWiki
- Weisstein, Eric W. "Transformación de Möbius" . MathWorld .