Matriz de Hankel

En álgebra lineal , una matriz de Hankel (o matriz catalecticante ), llamada así por Hermann Hankel , es una matriz cuadrada en la que cada diagonal de inclinación ascendente de izquierda a derecha es constante, por ejemplo:

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$

De manera más general, una matriz de Hankel es cualquier matriz de la forma${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&&\vdots \\a_{2}&&&&&\vdots \\\vdots &&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$

En términos de los componentes, si el elemento de se denota con , y asumiendo , entonces tenemos para todos${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

Propiedades

• La matriz de Hankel es una matriz simétrica .
• Sea la matriz de intercambio . Si es una matriz de Hankel, entonces, ¿ dónde está una matriz de Toeplitz ?${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m\times n}$
  • Si es simétrico real , entonces tendrá los mismos valores propios que hasta el signo. ^[1]${\displaystyle T}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$
• La matriz de Hilbert es un ejemplo de matriz de Hankel.

Operador de Hankel

Un operador de Hankel en un espacio de Hilbert es aquel cuya matriz es una matriz de Hankel (posiblemente infinita) con respecto a una base ortonormal . Como se indicó anteriormente, una matriz de Hankel es una matriz con valores constantes a lo largo de sus antidiagonals, lo que significa que una matriz de Hankel debe satisfacer, para todas las filas y columnas , . Tenga en cuenta que cada entrada depende solo de .${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle (A_{i,j})_{i,j\geq 1}}$${\displaystyle A_{i,j}}$${\displaystyle i+j}$

Deje que el correspondiente Hankel operador sea . Dada una matriz de Hankel , el operador de Hankel correspondiente se define como . ${\displaystyle H_{\alpha }}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H_{\alpha }(u)=Au}$

A menudo nos interesan los operadores de Hankel sobre el espacio de Hilbert , el espacio de secuencias complejas bilaterales integrables cuadradas . Para cualquiera , tenemos${\displaystyle H_{\alpha }:\ell ^{2}\left(\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\right)\rightarrow \ell ^{2}\left(\mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\right)}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle u\in \ell ^{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle \|u\|_{\ell ^{2}(z)}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|u_{n}\right|^{2}}$

A menudo nos interesan las aproximaciones de los operadores de Hankel, posiblemente por operadores de bajo orden. Para aproximar la salida del operador, podemos usar la norma espectral (operador 2-norma) para medir el error de nuestra aproximación. Esto sugiere la descomposición de valores singulares como una posible técnica para aproximar la acción del operador.

Tenga en cuenta que la matriz no tiene que ser finita. Si es infinito, los métodos tradicionales de calcular vectores singulares individuales no funcionarán directamente. También requerimos que la aproximación sea una matriz de Hankel, que se puede mostrar con la teoría AAK.${\displaystyle A}$

El determinante de una matriz de Hankel se llama catalecticante .

Transformada de matriz de Hankel

No confundir con la transformación de Hankel .

La transformada de la matriz de Hankel , o simplemente la transformada de Hankel , produce la secuencia de los determinantes de las matrices de Hankel formadas a partir de la secuencia dada. Es decir, la secuencia es la transformada de Hankel de la secuencia cuando${\displaystyle \{h_{n}\}_{n\geq 0}}$${\displaystyle \{b_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle h_{n}=\det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.}$

La transformada de Hankel es invariante bajo la transformada binomial de una secuencia. Es decir, si uno escribe

${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$

como la transformada binomial de la secuencia , entonces uno tiene${\displaystyle \{b_{n}\}}$

${\displaystyle \det(b_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}=\det(c_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n+1}.}$

Aplicaciones de las matrices de Hankel

Las matrices de Hankel se forman cuando, dada una secuencia de datos de salida, se desea la realización de un modelo de Markov oculto o de espacio de estados subyacente . ^[2] La descomposición de valores singulares de la matriz de Hankel proporciona un medio para calcular las matrices A , B y C que definen la realización del espacio de estados. ^[3] La matriz de Hankel formada a partir de la señal se ha encontrado útil para la descomposición de señales no estacionarias y la representación de tiempo-frecuencia.

Método de momentos para distribuciones polinomiales

El método de momentos aplicado a las distribuciones polinomiales da como resultado una matriz de Hankel que debe invertirse para obtener los parámetros de peso de la aproximación de la distribución polinomial. ^[4]

Matrices positivas de Hankel y problemas del momento de hamburguesa

Más información: Problema del momento de la hamburguesa

Ver también

• Matriz de Toeplitz , una matriz de Hankel "al revés" (es decir, reversa)
• Matriz de Cauchy
• Matriz de Vandermonde

Notas

1. Yasuda, M. (2003). "Una caracterización espectral de las matrices K centrosimétricas hermitianas y sesgadas-centrosimétricas hermitianas". SIAM J. Matrix Anal. Apl . 25 (3): 601–605. doi : 10.1137 / S0895479802418835 .
2. Aoki, Masanao (1983). "Predicción de series de tiempo" . Notas sobre el análisis económico de series de tiempo: perspectivas teóricas de sistemas . Nueva York: Springer. págs. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
3. Aoki, Masanao (1983). "Determinación de rangos de matrices de Hankel" . Notas sobre el análisis económico de series de tiempo: perspectivas teóricas de sistemas . Nueva York: Springer. págs. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
4. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Estimación de distribución de probabilidad polinomial utilizando el método de momentos". PLoS ONE 12 (4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

Referencias

• Brent RP (1999), "Estabilidad de algoritmos rápidos para sistemas lineales estructurados", Algoritmos confiables rápidos para matrices con estructura (editores — T. Kailath, AH Sayed), cap.4 ( SIAM ).
• Víctor Y. Pan (2001). Matrices estructuradas y polinomios: algoritmos superrápidos unificados . Birkhäuser . ISBN 0817642404.
• JR Partington (1988). Una introducción a los operadores de Hankel . Textos de estudiantes de LMS. 13 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-36791-3.
• P. Jain y RB Pachori, Un enfoque iterativo para la descomposición de señales no estacionarias de componentes múltiples basado en la descomposición de valores propios de la matriz de Hankel , Revista del Instituto Franklin, vol. 352, número 10, págs.4017--4044, octubre de 2015.
• P. Jain y RB Pachori, método basado en eventos para la estimación instantánea de la frecuencia fundamental a partir del habla sonora basada en la descomposición de valores propios de la matriz de Hankel , Transacciones IEEE / ACM sobre procesamiento de audio, habla y lenguaje, vol. 22. número 10, págs. 1467-1482, octubre de 2014.
• RR Sharma y RB Pachori, Representación de frecuencia de tiempo utilizando IEVDHM-HT con aplicación a la clasificación de señales EEG epilépticas , IET Science, Measurement & Technology, vol. 12, número 01, págs.72-82, enero de 2018.