En la teoría de categorías , una categoría regular es una categoría con límites finitos y coequalizadores de un par de morfismos llamados pares de núcleos , que satisfacen ciertas condiciones de exactitud . De esa manera, las categorías regulares recuperan muchas propiedades de las categorías abelianas , como la existencia de imágenes , sin requerir aditividad. Al mismo tiempo, las categorías regulares proporcionan una base para el estudio de un fragmento de lógica de primer orden , conocida como lógica regular.
Definición
Una categoría C se llama regular si satisface las siguientes tres propiedades: [1]
- C es finitamente completo .
- Si f : X → Y es un morfismo en C , y
- es un retroceso , entonces el coequalizador de p 0 , p 1 existe. El par ( p 0 , p 1 ) se llama par kernel de f . Al ser un retroceso, el par de núcleos es único hasta un isomorfismo único .
- Si f : X → Y es un morfismo en C , y
- es un retroceso, y si f es un epimorfismo regular , entonces g es un epimorfismo regular también. Un epimorfismo regular es un epimorfismo que aparece como coequalizador de algún par de morfismos.
Ejemplos de
Ejemplos de categorías regulares incluyen:
- Conjunto , la categoría de conjuntos y funciones entre los conjuntos
- De manera más general, cada topos elemental
- Grp , la categoría de grupos y homomorfismos de grupo
- La categoría de anillos y homomorfismos de anillo.
- De manera más general, la categoría de modelos de cualquier variedad
- Cada encuentro-semirreticulado acotado , con morfismos dados por la relación de orden
- Cada categoría abeliana
Las siguientes categorías no son regulares:
- Top , la categoría de espacios topológicos y funciones continuas
- Cat , la categoría de pequeñas categorías y functores
Factorización Epi-Mono
En una categoría regular, los epimorfismos regulares y los monomorfismos forman un sistema de factorización . Cada morfismo f: X → Y se puede factorizar en un epimorfismo regular e: X → E seguido de un monomorfismo m: E → Y , de modo que f = me . La factorización es única en el sentido de que si e ': X → E' es otro epimorfismo regular y m ': E' → Y es otro monomorfismo tal que f = m'e ' , entonces existe un isomorfismo h: E → E ' tal que él = e' y m'h = m . El monomorfismo m se llama imagen de f .
Secuencias exactas y functores regulares
En una categoría regular, un diagrama del formulario se dice que es una secuencia exacta si es tanto un coequalizador como un par de kernel. La terminología es una generalización de secuencias exactas en álgebra homológica : en una categoría abeliana , un diagrama
es exacta en este sentido si y solo si es una secuencia breve y exacta en el sentido habitual.
Un functor entre categorías regulares se llama regular , si conserva límites finitos y coequalizadores de pares de kernel. Un funtor es regular si y solo si conserva límites finitos y secuencias exactas. Por esta razón, los functores regulares a veces se denominan functores exactos . A menudo se dice que los functores que conservan límites finitos se dejan exactos .
Lógica regular y categorías regulares
La lógica regular es el fragmento de la lógica de primer orden que puede expresar declaraciones de la forma
dónde y son fórmulas regulares, es decir, fórmulas construidas a partir de fórmulas atómicas , la constante de verdad, los encuentros binarios (conjunción) y la cuantificación existencial . Tales fórmulas se pueden interpretar en una categoría regular, y la interpretación es un modelo de una secuencia , si la interpretación de factores a través de la interpretación de . [2] Esto da para cada teoría (conjunto de secuentes) T y para cada categoría regular de C una categoría Mod ( T , C) de modelos de T en C . Esta construcción da un mod de functor ( T , -): RegCat → Cat de la categoría RegCat de categorías regulares pequeñas y functors regulares a categorías pequeñas. Es un resultado importante que para cada teoría T hay una categoría regular R (T) , de modo que para cada categoría regular C hay una equivalencia
que es natural en C . Aquí, R (T) se llama la categoría de clasificación de la teoría regular T. Hasta la equivalencia, cualquier categoría regular pequeña surge de esta manera como la categoría de clasificación de alguna teoría regular. [2]
Categorías exactas (efectivas)
La teoría de las relaciones de equivalencia es una teoría regular. Una relación de equivalencia en un objeto de una categoría regular es un monomorfismo en que satisfaga las interpretaciones de las condiciones de reflexividad, simetría y transitividad.
Cada par de kernel define una relación de equivalencia . A la inversa, se dice que una relación de equivalencia es eficaz si surge como un par de núcleos. [3] Una relación de equivalencia es efectiva si y solo si tiene un coequalizador y es el par de núcleos de este.
Se dice que una categoría regular es exacta , o exacta en el sentido de Barr , o regular efectiva , si toda relación de equivalencia es efectiva. [4] (Tenga en cuenta que el término "categoría exacta" también se usa de manera diferente, para las categorías exactas en el sentido de Quillen ).
Ejemplos de categorías exactas
- La categoría de conjuntos es exacta en este sentido, al igual que cualquier topos (elemental) . Toda relación de equivalencia tiene un coequalizador, que se obtiene tomando clases de equivalencia .
- Cada categoría abeliana es exacta.
- Cada categoría que es monádica sobre la categoría de conjuntos es exacta.
- La categoría de espacios Stone es regular, pero no exacta.
Ver también
- Alegoría (teoría de categorías)
- Topos
- Terminación exacta
Referencias
- ^ Pedicchio y Tholen (2004) p.177
- ^ a b Carsten Butz (1998), Categorías regulares y lógica regular , Serie de conferencias BRICS LS-98-2, (1998).
- ^ Pedicchio y Tholen (2004) p.169
- ^ Pedicchio y Tholen (2004) p.179
- Michael Barr , Pierre A. Grillet, Donovan H. van Osdol. Categorías exactas y categorías de gavillas , Springer, Lecture Notes in Mathematics 236. 1971.
- Francis Borceux, Manual de álgebra categórica 2 , Cambridge University Press, (1994).
- Stephen Lack, Una nota sobre la terminación exacta de una categoría regular y sus generalizaciones infinitas ". Teoría y aplicaciones de las categorías, Vol.5, No.3, (1999).
- Jaap van Oosten (1995), Teoría básica de categorías , Serie de conferencias BRICS LS-95-1, (1995).
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .