En matemáticas , una categoría exacta es un concepto de teoría de categorías debido a Daniel Quillen, que está diseñado para encapsular las propiedades de secuencias exactas cortas en categorías abelianas sin requerir que los morfismos realmente posean granos y cokernels , lo cual es necesario para la definición habitual de tal secuencia.
Definición
Una categoría exacta E es una categoría aditiva que posee una clase E de "secuencias breves y exactas": triples de objetos conectados por flechas.
satisfaciendo los siguientes axiomas inspirados en las propiedades de secuencias breves exactas en una categoría abeliana :
- E está cerrado bajo isomorfismos y contiene las secuencias canónicas ("divididas exactas"):
- Suponer ocurre como la segunda flecha de una secuencia en E (es un epimorfismo admisible ) yes ninguna flecha en E . Entonces existe su retroceso y su proyección aes también un epimorfismo admisible. Dualmente , siocurre como la primera flecha de una secuencia en E (es un monomorfismo admisible ) yes cualquier flecha, entonces su expulsión existe y su coproyección desdees también un monomorfismo admisible. (Decimos que los epimorfismos admisibles son "estables bajo retroceso", resp. Los monomorfismos admisibles son "estables bajo empuje".);
- Los monomorfismos admisibles son núcleos de sus correspondientes epimorfismos admisibles, y dualmente. Es admisible la composición de dos monomorfismos admisibles (igualmente epimorfismos admisibles);
- Suponer es un mapa en E que admite un kernel en E , y supongamos es cualquier mapa tal que la composición es un epimorfismo admisible. Entonces asi es Dualmente, si admite un cokernel y es tal que es un monomorfismo admisible, entonces también lo es
Los monomorfismos admisibles generalmente se denotan y los epimorfismos admisibles se denotan Estos axiomas no son mínimos; de hecho, Bernhard Keller ( 1990 ) ha demostrado que el último es redundante.
Se puede hablar de un functor exacto entre categorías exactas exactamente como en el caso de los functores exactos de categorías abelianas: un functor exactode una categoría D exacta a otra E es un funtor aditivo tal que si
es exacta en D , entonces
es exacta en E . Si D es una subcategoría de E , es una subcategoría exacta si el functor de inclusión es completamente fiel y exacto.
Motivación
Las categorías exactas provienen de categorías abelianas de la siguiente manera. Suponga que A es abeliano y sea E cualquier subcategoría aditiva estrictamente completa que esté cerrada tomando extensiones en el sentido de que dada una secuencia exacta
en A , entonces siestán en E , también lo está. Podemos considerar que la clase E son simplemente las secuencias en E que son exactas en A ; es decir,
está en E iff
es exacta en A . Entonces E es una categoría exacta en el sentido anterior. Verificamos los axiomas:
- E es cerrado bajo isomorfismos y contiene las secuencias exactas de división: estos son verdadero por definición, ya que en una categoría abeliana, cualquier secuencia isomorfo a un exacto también es exacta, y desde la división secuencias son siempre exacta en A .
- Los epimorfismos admisibles (respectivamente, los monomorfismos admisibles) son estables bajo pullbacks (resp. Pushouts): dada una secuencia exacta de objetos en E ,
- y un mapa con en E , se comprueba que la siguiente secuencia también es exacta; dado que E es estable bajo extensiones, esto significa que está en E :
- Todo monomorfismo admisible es el núcleo de su correspondiente epimorfismo admisible, y viceversa: esto es cierto como morfismos en A , y E es una subcategoría completa.
- Si admite un kernel en E y si es tal que es un epimorfismo admisible, entonces también lo es : Ver Quillen ( 1972 ).
Por el contrario, si E es una categoría exacta, podemos tomar A como la categoría de los functores exactos por la izquierda de E en la categoría de grupos abelianos , que en sí es abeliano y en la que E es una subcategoría natural (a través de la incrustación de Yoneda , ya que Hom se deja exacta), estable en las extensiones, y en el que una secuencia está en e si y sólo si es exacta en a .
Ejemplos de
- Cualquier categoría abeliana es exacta de forma obvia, según la construcción de #Motivación .
- Un ejemplo menos trivial es la categoría Ab tf de grupos abelianos sin torsión , que es una subcategoría estrictamente completa de la categoría (abeliana) Ab de todos los grupos abelianos. Está cerrado bajo extensiones: si
- es una breve secuencia exacta de grupos abelianos en los que están libres de torsión, entonces se ve libre de torsión por el siguiente argumento: si es un elemento de torsión, entonces su imagen en es cero, ya que no tiene torsión. Por lo tanto se encuentra en el núcleo del mapa para , cual es , pero que también está libre de torsión, por lo que . Por la construcción de #Motivación , Ab tf es una categoría exacta; algunos ejemplos de secuencias exactas en él son:
- donde el último ejemplo está inspirado en la cohomología de De Rham ( y son las formas diferenciales cerradas y exactas en el grupo circular ); en particular, se sabe que el grupo de cohomología es isomorfo a los números reales. Esta categoría no es abeliana.
- El siguiente ejemplo es en cierto sentido complementario al anterior. Sea Ab t la categoría de grupos abelianos con torsión (y también el grupo cero). Esto es aditivo y una subcategoría estrictamente completa de Ab nuevamente. Es incluso más fácil ver que es estable en extensiones: si
- es una secuencia exacta en la que tener torsión, entonces naturalmente tiene todos los elementos de torsión de . Por tanto, es una categoría exacta; algunos ejemplos de sus secuencias exactas son
- donde en el segundo ejemplo, el significa inclusión como primer sumando, y en el último ejemplo, el significa proyección sobre el segundo sumando. Una característica interesante de esta categoría es que ilustra que la noción de cohomología no tiene sentido en categorías generales exactas: para considerar el "complejo"
- que se obtiene pegando las flechas marcadas en los dos últimos ejemplos anteriores. La segunda flecha es un epimorfismo admisible, y su núcleo es (del último ejemplo), . Dado que las dos flechas se componen de cero, la primera flecha factoriza a través de este núcleo y, de hecho, la factorización es la inclusión como primer sumando. Por tanto, el cociente, si existiera, tendría que ser , que en realidad no está en Ab t . Es decir, la cohomología de este complejo no está definida.
Referencias
- Keller, Bernhard (1990). "Cadena de complejos y categorías estables". Manuscripta Mathematica . 67 : 379–417. CiteSeerX 10.1.1.146.3555 . doi : 10.1007 / BF02568439 . S2CID 6945014 .
Apéndice A. Categorías exactas
- Quillen, Daniel (1972). Algebraica mayor K-teoría que . Apuntes de clase en matemáticas. 341 . Saltador. págs. 85-147. doi : 10.1007 / BFb0067053 . ISBN 978-3-540-06434-3.