Sistema integrable

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En matemáticas, la integrabilidad es una propiedad de ciertos sistemas dinámicos . Si bien hay varias definiciones formales distintas, hablando informalmente, un sistema integrable es un sistema dinámico con suficientes cantidades conservadas , o primeras integrales , de modo que su comportamiento tiene muchos menos grados de libertad que la dimensionalidad de su espacio de fase ; es decir, su evolución está restringida a una subvariedad dentro de su espacio de fase.

A menudo se hace referencia a tres características como caracterización de sistemas integrables: ^[1]

• la existencia de un conjunto máximo de cantidades conservadas (la propiedad definitoria habitual de la integrabilidad completa )
• la existencia de invariantes algebraicos , que tienen una base en la geometría algebraica (una propiedad conocida a veces como integrabilidad algebraica )
• la determinación explícita de soluciones en una forma funcional explícita (no una propiedad intrínseca, sino algo que a menudo se denomina solvabilidad )

Los sistemas integrables pueden verse como muy diferentes en carácter cualitativo de los sistemas dinámicos más genéricos , que son más típicamente sistemas caóticos . Estos últimos generalmente no tienen cantidades conservadas y son asintóticamente intratables, ya que una perturbación arbitrariamente pequeña en las condiciones iniciales puede conducir a desviaciones arbitrariamente grandes en sus trayectorias durante un tiempo suficientemente largo.

La integrabilidad completa es, por tanto, una propiedad no genérica de los sistemas dinámicos. Sin embargo, muchos sistemas estudiados en física son completamente integrables, en particular, en el sentido hamiltoniano , siendo el ejemplo clave los osciladores armónicos multidimensionales. Otro ejemplo estándar es el movimiento planetario alrededor de un centro fijo (por ejemplo, el sol) o dos. Otros ejemplos elementales incluyen el movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa (la parte superior de Euler ) y el movimiento de un cuerpo rígido axialmente simétrico alrededor de un punto en su eje de simetría (la parte superior de Lagrange ).

La teoría moderna de los sistemas integrables fue revivida con el descubrimiento numérico de los solitones por Martin Kruskal y Norman Zabusky en 1965, que condujo al método de transformada de dispersión inversa en 1967. Se descubrió que hay sistemas completamente integrables en física que tienen un número infinito de grados de libertad, como algunos modelos de ondas de aguas someras ( ecuación de Korteweg-de Vries ), el efecto Kerr en fibras ópticas, descrito por la ecuación no lineal de Schrödinger , y ciertos sistemas integrables de muchos cuerpos, como la red de Toda .

En el caso especial de los sistemas hamiltonianos, si hay suficientes primeras integrales de conmutación de Poisson independientes para que los parámetros de flujo puedan servir como un sistema de coordenadas en los conjuntos de niveles invariantes (las hojas de la foliación lagrangiana ), y si los flujos son completos y el conjunto de niveles de energía es compacto, esto implica el teorema de Liouville-Arnold ; es decir, la existencia de variables de ángulo de acción . Los sistemas dinámicos generales no tienen tales cantidades conservadas; en el caso de los sistemas hamiltonianos autónomos , la energía es generalmente la única, y en los conjuntos de niveles de energía, los flujos son típicamente caóticos.

Un ingrediente clave en la caracterización de sistemas integrables es el teorema de Frobenius , que establece que un sistema es Frobenius integrable (es decir, es generado por una distribución integrable) si, localmente, tiene una foliación por variedades integrales máximas. Pero la integrabilidad, en el sentido de sistemas dinámicos , es una propiedad global, no local, ya que requiere que la foliación sea regular, con las subvariedades de hojas incrustadas.

Los sistemas integrables no necesariamente tienen soluciones que puedan expresarse en forma cerrada o en términos de funciones especiales ; en el sentido actual, la integrabilidad es una propiedad de la geometría o topología de las soluciones del sistema en el espacio de fase.

Sistemas dinámicos generales

En el contexto de los sistemas dinámicos diferenciables , la noción de integrabilidad se refiere a la existencia de foliaciones regulares invariantes ; es decir, aquellas cuyas hojas son subvariedades incrustadas de la dimensión más pequeña posible que son invariantes bajo el flujo . Existe, pues, una noción variable del grado de integrabilidad, dependiendo de la dimensión de las hojas de la foliación invariante. Este concepto tiene un refinamiento en el caso de los sistemas hamiltonianos , conocido como integrabilidad completa en el sentido de Liouville (ver más abajo), que es a lo que se hace referencia con mayor frecuencia en este contexto.

Una extensión de la noción de integrabilidad también es aplicable a sistemas discretos como las celosías. Esta definición se puede adaptar para describir ecuaciones de evolución que son sistemas de ecuaciones diferenciales o ecuaciones en diferencias finitas .

La distinción entre sistemas dinámicos integrables y no integrables tiene la implicación cualitativa de movimiento regular versus movimiento caótico y, por lo tanto, es una propiedad intrínseca, no solo una cuestión de si un sistema puede integrarse explícitamente en forma exacta.

Sistemas hamiltonianos e integrabilidad de Liouville

En el contexto especial de los sistemas hamiltonianos , tenemos la noción de integrabilidad en el sentido de Liouville . (Véase el teorema de Liouville-Arnold .) La integrabilidad de Liouville significa que existe una foliación regular del espacio de fase por variedades invariantes de manera que los campos vectoriales hamiltonianos asociados a las invariantes de la foliación abarcan la distribución tangente. Otra forma de afirmar esto es que existe un conjunto máximo de invariantes de conmutación de Poisson (es decir, funciones en el espacio de fase cuyos paréntesis de Poisson con el hamiltoniano del sistema, y ​​entre sí, se desvanecen).

En dimensiones finitas, si el espacio de fase es simpléctico (es decir, el centro del álgebra de Poisson consta solo de constantes), debe tener una dimensión par , y el número máximo de invariantes de conmutación de Poisson independientes (incluido el propio hamiltoniano) es . Las hojas de la foliación son totalmente isotrópicas con respecto a la forma simpléctica y tal foliación isotrópica máxima se denomina lagrangiana . Todos autónomos${\displaystyle 2n}$${\displaystyle n}$Los sistemas hamiltonianos (es decir, aquellos para los que los corchetes hamiltoniano y de Poisson no dependen explícitamente del tiempo) tienen al menos un invariante; a saber, el propio hamiltoniano, cuyo valor a lo largo del flujo es la energía. Si los conjuntos de niveles de energía son compactos, las hojas de la foliación de Lagrange son toros, y las coordenadas lineales naturales de estas se denominan variables de "ángulo". Los ciclos de la forma canónica se denominan variables de acción y las coordenadas canónicas resultantes se denominan variables de ángulo de acción (ver más abajo).${\displaystyle 1}$

También hay una distinción entre integrabilidad completa , en el sentido de Liouville , e integrabilidad parcial, así como una noción de superintegrabilidad y superintegrabilidad máxima. Esencialmente, estas distinciones corresponden a las dimensiones de las hojas de la foliación. Cuando el número de invariantes de conmutación de Poisson independientes es menor que el máximo (pero, en el caso de los sistemas autónomos, más de uno), decimos que el sistema es parcialmente integrable. Cuando existen más invariantes funcionalmente independientes, más allá del número máximo que puede ser de conmutación de Poisson y, por lo tanto, la dimensión de las hojas de la foliación invariante es menor que n, decimos que el sistema es superintegrable.. Si hay una foliación regular con hojas unidimensionales (curvas), esto se denomina superintegrable máximo.

Variables de ángulo de acción

Cuando un sistema hamiltoniano de dimensión finita es completamente integrable en el sentido de Liouville, y los conjuntos de niveles de energía son compactos, los flujos son completos y las hojas de la foliación invariante son toros . Entonces existen, como se mencionó anteriormente, conjuntos especiales de coordenadas canónicas en el espacio de fase conocidas como variables de ángulo de acción , de modo que los toros invariantes son los conjuntos de niveles conjuntos de las variables de acción . Por tanto, estos proporcionan un conjunto completo de invariantes del flujo hamiltoniano (constantes de movimiento), y las variables de ángulo son las coordenadas periódicas naturales del toro. El movimiento en los toros invariantes, expresado en términos de estas coordenadas canónicas, es lineal en las variables angulares.

El enfoque de Hamilton-Jacobi

En la teoría de la transformación canónica , existe el método de Hamilton-Jacobi , en el que se buscan soluciones a las ecuaciones de Hamilton encontrando primero una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi asociada . En terminología clásica, esto se describe como la determinación de una transformación a un conjunto canónico de coordenadas que consta de variables completamente ignorables; es decir, aquellos en los que no hay dependencia del hamiltoniano de un conjunto completo de coordenadas de "posición" canónicas y, por tanto, los momentos canónicamente conjugados correspondientes son todas cantidades conservadas. En el caso de conjuntos de niveles de energía compactos, este es el primer paso para determinar las variables del ángulo de acción . En la teoría general de ecuaciones diferenciales parciales deEl tipo Hamilton-Jacobi , una solución completa (es decir, una que depende de n constantes de integración independientes, donde n es la dimensión del espacio de configuración), existe en casos muy generales, pero solo en el sentido local. Por lo tanto, la existencia de una solución completa de la ecuación de Hamilton-Jacobi no es de ninguna manera una caracterización de la integrabilidad completa en el sentido de Liouville. La mayoría de los casos que pueden "integrarse explícitamente" implican una separación completa de variables, en el que las constantes de separación proporcionan el conjunto completo de constantes de integración que se requieren. Solo cuando estas constantes pueden reinterpretarse, dentro del ajuste del espacio de fase completo, como los valores de un conjunto completo de funciones de conmutación de Poisson restringidas a las hojas de una foliación lagrangiana, el sistema puede considerarse completamente integrable en el sentido de Liouville.

Solitones y métodos espectrales inversos

Un resurgimiento del interés en los sistemas integrables clásicos se produjo con el descubrimiento, a fines de la década de 1960, que los solitones , que son soluciones localizadas fuertemente estables de ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de Korteweg-de Vries (que describe la dinámica de fluidos no disipativa unidimensional en cuencas poco profundas), podría entenderse al considerar estas ecuaciones como sistemas hamiltonianos integrables de dimensión infinita. Su estudio conduce a un enfoque muy fructífero para "integrar" tales sistemas, la transformada de dispersión inversa y métodos espectrales inversos más generales (a menudo reducibles a problemas de Riemann-Hilbert), que generalizan métodos lineales locales como el análisis de Fourier a la linealización no local, mediante la solución de ecuaciones integrales asociadas.

La idea básica de este método es introducir un operador lineal que está determinado por la posición en el espacio de fase y que evoluciona bajo la dinámica del sistema en cuestión de tal manera que su "espectro" (en un sentido convenientemente generalizado) sea invariante. bajo la evolución, cf. Par laxo . Esto proporciona, en ciertos casos, suficientes invariantes o "integrales de movimiento" para hacer que el sistema sea completamente integrable. En el caso de sistemas que tienen un número infinito de grados de libertad, como la ecuación KdV, esto no es suficiente para precisar la propiedad de integrabilidad de Liouville. Sin embargo, para condiciones de contorno adecuadamente definidas, la transformada espectral puede, de hecho, interpretarse como una transformación a coordenadas completamente ignorables., en el que las cantidades conservadas forman la mitad de un conjunto doblemente infinito de coordenadas canónicas, y el flujo se linealiza en estas. En algunos casos, esto puede incluso verse como una transformación a variables de ángulo de acción, aunque típicamente solo un número finito de las variables de "posición" son en realidad coordenadas de ángulo, y el resto no son compactas.

Ecuaciones y funciones bilineales de Hirota ${\displaystyle \tau }$

Otro punto de vista que surgió en la teoría moderna de sistemas integrables se originó en un enfoque de cálculo iniciado por Ryogo Hirota , ^[2] que implicó reemplazar el sistema dinámico no lineal original con un sistema bilineal de ecuaciones de coeficientes constantes para una cantidad auxiliar, que más tarde llegó a ser conocido como la función- . Ahora se denominan ecuaciones de Hirota . Aunque originalmente aparecía solo como un dispositivo de cálculo, sin ninguna relación clara con el enfoque de dispersión inversa o la estructura hamiltoniana, esto sin embargo proporcionó un método muy directo del cual se podrían derivar clases importantes de soluciones como los solitones . τ {\displaystyle \tau }

Posteriormente, esto fue bellamente interpretado, por Mikio Sato ^[3] y sus estudiantes, ^{[4] [5]} al principio para el caso de jerarquías integrables de PDE, como la jerarquía Kadomtsev-Petviashvili , pero luego para clases mucho más generales de jerarquías integrables, como una especie de enfoque de espacio de fase universal , en el que, típicamente, la dinámica de conmutación se ve simplemente como determinada por una acción de grupo abeliano fijo (finito o infinito) sobre una variedad de Grassmann (finita o infinita). La función- se consideró como el determinante de un operador de proyección desde los elementos de la órbita del grupo hasta algún origen dentro de las ecuaciones de Grassmannian y de Hirota τ {\displaystyle \tau } como expresión de las relaciones de Plucker , que caracteriza la incrustación de Plücker de Grassmannian en la proyección de un espacio exterior adecuadamente definido (infinito), visto como un espacio fermiónico de Fock .

Sistemas integrables cuánticos

También existe una noción de sistemas integrables cuánticos.

En la configuración cuántica, las funciones en el espacio de fase deben reemplazarse por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert , y la noción de funciones de conmutación de Poisson debe reemplazarse por operadores de conmutación. La noción de leyes de conservación debe especializarse en las leyes de conservación locales . ^[6] Cada hamiltoniano tiene un conjunto infinito de cantidades conservadas dadas por los proyectores a sus estados propios de energía . Sin embargo, esto no implica ninguna estructura dinámica especial.

Para explicar la integrabilidad cuántica, es útil considerar la configuración de partículas libres. Aquí todas las dinámicas son reducibles en un solo cuerpo. Se dice que un sistema cuántico es integrable si la dinámica es reducible en dos cuerpos. La ecuación de Yang-Baxter es una consecuencia de esta reducibilidad y conduce a trazas de identidades que proporcionan un conjunto infinito de cantidades conservadas. Todas estas ideas se incorporan en el método de dispersión inversa cuántica donde se puede utilizar el Bethe ansatz algebraico para obtener soluciones explícitas. Ejemplos de modelos integrables cuánticos son el modelo de Lieb-Liniger , el modelo de Hubbard y varias variaciones del modelo de Heisenberg . ^[7]Algunos otros tipos de integrabilidad cuántica se conocen en problemas cuánticos explícitamente dependientes del tiempo, como el modelo impulsado de Tavis-Cummings. ^[8]

Modelos exactamente solucionables

En física, los sistemas completamente integrables, especialmente en el entorno de dimensión infinita, a menudo se denominan modelos exactamente solubles. Esto oscurece la distinción entre integrabilidad en el sentido hamiltoniano y el sentido más general de sistemas dinámicos.

También hay modelos exactamente solubles en mecánica estadística, que están más estrechamente relacionados con los sistemas integrables cuánticos que con los clásicos. Dos métodos estrechamente relacionados: el enfoque de Bethe ansatz , en su sentido moderno, basado en las ecuaciones de Yang-Baxter y el método de dispersión inversa cuántica proporcionan análogos cuánticos de los métodos espectrales inversos. Estos son igualmente importantes en el estudio de modelos solubles en mecánica estadística.

Una noción imprecisa de "solubilidad exacta" como significado: "Las soluciones se pueden expresar explícitamente en términos de algunas funciones previamente conocidas" también se usa a veces, como si esto fuera una propiedad intrínseca del sistema mismo, en lugar de la característica puramente calculadora que tenemos algunas funciones "conocidas" disponibles, en términos de las cuales se pueden expresar las soluciones. Esta noción no tiene un significado intrínseco, ya que lo que se entiende por funciones "conocidas" muy a menudo se define precisamente por el hecho de que satisfacen ciertas ecuaciones dadas, y la lista de tales "funciones conocidas" crece constantemente. Aunque tal caracterización de la "integrabilidad" no tiene validez intrínseca, a menudo implica el tipo de regularidad que se espera en los sistemas integrables.^{[ cita requerida ]}

Lista de algunos sistemas integrables clásicos conocidos

Sistemas mecánicos clásicos (espacio de fase de dimensión finita)

• Osciladores armónicos en n dimensiones
• Movimiento de fuerza central ( soluciones exactas de problemas clásicos de fuerza central )
• Movimiento gravitacional newtoniano de dos centros
• Movimiento geodésico en elipsoides
• Oscilador Neumann
• Tops de Lagrange, Euler y Kovalevskaya
• Sistemas integrables Clebsch y Steklov en fluidos
• Modelo de Calogero-Moser-Sutherland ^[9]

Modelos de celosía integrables

• Toda la celosía
• Celosía Ablowitz – Ladik
• Celosía Volterra
• Ecuación de Korteweg-de Vries
• Ecuación de seno-Gordon
• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Sistema AKNS
• Ecuación de Boussinesq (ondas de agua)
• Ecuación de Camassa-Holm
• Modelos sigma no lineales
• Modelo de ferromagnet clásico de Heisenberg (cadena de giro)
• Sistema de giro clásico de Gaudin (sistema Garnier)
• Ecuación de Kaup-Kupershmidt
• Ecuación de Krichever-Novikov
• Ecuación de Landau-Lifshitz (campo de giro continuo)
• Ecuación de Benjamin – Ono
• Ecuación Degasperis-Procesi
• Ecuación de dym
• Modelo de sed masiva
• Ecuación de tres ondas

PDE integrables en dimensiones 2 + 1

• Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
• Ecuación de Davey-Stewartson
• Ecuación de ishimori
• Ecuación de Novikov-Veselov
• La transformada de Belinski-Zakharov genera un par Lax para las ecuaciones de campo de Einstein ; las soluciones generales se denominan solitones gravitacionales , de los cuales la métrica de Schwarzschild , la métrica de Kerr y algunas soluciones de ondas gravitacionales son ejemplos.

Ver también

• Sistema de Hitchin

Áreas relacionadas

• Física matemática
• Solitón
• Trascendentes Painleve
• Mecánica estadística
• Algoritmo integrable

Algunos contribuyentes clave (desde 1965)

• Mark Ablowitz
• Rodney Baxter
• Percy Deift
• Leonid Dickey
• Vladimir Drinfeld
• Boris Dubrovin
• Ludvig Faddeev
• Hermann Flaschka
• Israel Gel'fand
• Alejandro es
• Michio Jimbo
• Igor M. Krichever
• Martín Kruskal
• Peter Lax
• Vladimir Matveev
• Robert Miura
• Tetsuji Miwa
• Alan Newell
• Nicolai Reshetikhin
• Aleksei Shabat
• Evgeny Sklyanin
• Mikio Sato
• Elliott H. Lieb
• Graeme Segal
• George Wilson
• Vladimir E. Zakharov
• KM Tamizhmani

Referencias

• Arnold, VI (1997). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-0-387-96890-2.
• Audin, M. (1996). Spinning Tops: Un curso sobre sistemas integrables . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 51 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521779197.
• Babelon, O .; Bernard, D .; Talon, M. (2003). Introducción a los sistemas integrables clásicos . Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.1017 / CBO9780511535024 . ISBN 0-521-82267-X.
• Baxter, RJ (1982). Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística . Prensa académica. ISBN 978-0-12-083180-7.
• Dunajski, M. (2009). Solitones, Instantons y Twistors . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-857063-9.
• Faddeev, LD ; Takhtajan, LA (1987). Métodos hamiltonianos en la teoría de los solitones . Addison-Wesley. ISBN 978-0-387-15579-1.
• Fomenko, AT (1995). Geometría simpléctica. Métodos y aplicaciones (2ª ed.). Gordon y Breach. ISBN 978-2-88124-901-3.
• Fomenko, AT ; Bolsinov, AV (2003). Sistemas Hamiltonianos Integrables: Geometría, Topología, Clasificación . Taylor y Francis. ISBN 978-0-415-29805-6.
• Goldstein, H. (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9.
• Harnad, J .; Winternitz, P .; Sabidussi, G. , eds. (2000). Sistemas integrables: de lo clásico a lo cuántico . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-2093-1.
• Harnad, J .; Balogh, F. (2021). Funciones Tau y sus aplicaciones . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.1017 / 9781108610902 . ISBN 9781108492683. S2CID  222379146 .
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• Afrajmovich, VS ; Arnold, VI ; Il'yashenko, Yu. S .; Shil'nikov, LP Sistemas Dinámicos V . Saltador. ISBN 3-540-18173-3.
• Mussardo, Giuseppe (2010). Teoría del campo estadístico. Introducción a los modelos de física estadística exactamente resueltos . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-954758-6.
• Sardanashntly, G. (2015). Manual de sistemas hamiltonianos integrables . URSS. ISBN 978-5-396-00687-4.

Otras lecturas

• Beilinson, A .; Drinfeld, V. "Cuantización del sistema integrable de Hitchin y Eigensheaves de Hecke" (PDF) .
• Donagi, R .; Markman, E. (1996). "Cubiertas espectrales, algebraicamente completamente integrables, sistemas hamiltonianos y módulos de haces". Sistemas integrables y grupos cuánticos . Saltador. págs. 1-119. doi : 10.1007 / BFb0094792 .
• Sonnad, Kiran G .; Cary, John R. (2004). "Encontrar una red no lineal con integrabilidad mejorada utilizando la teoría de la perturbación de transformación de Lie". Revisión E física . 69 (5): 056501. Código Bibliográfico : 2004PhRvE..69e6501S . doi : 10.1103 / PhysRevE.69.056501 . PMID  15244955 .

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Sistemas integrables .

• "Sistema integrable" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "SIDE - Simetrías e integrabilidad de ecuaciones en diferencias" , conferencia dedicada al estudio de ecuaciones en diferencias integrables y temas relacionados. ^[10]

Notas

1. Hitchin, Nueva Jersey; Segal, GB; Ward, RS (2013) [1999]. Sistemas integrables: Twistors, Loop Groups y Superficies Riemann . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-967677-4.
2. Hirota, R. (1986). "Reducción de ecuaciones en solitones en forma bilineal". Physica D: Fenómenos no lineales . 18 (1-3): 161-170. Código bibliográfico : 1986PhyD ... 18..161H . doi : 10.1016 / 0167-2789 (86) 90173-9 .
3. Sato, M. (1981). "Ecuaciones de solitón como sistemas dinámicos en variedades de Grassmann de dimensión infinita" (PDF) . Kokyuroku, RIMS, Universidad de Kioto . 439 : 30–46. hdl : 2433/102800 .
4. Fecha, E .; Jimbo, M .; Kashiwara, M .; Miwa, T. (1981). "Enfoque del operador a la ecuación III de Kadomtsev-Petviashvili". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 50 (11): 3806–12. doi : 10.1143 / JPSJ.50.3806 .
5. Jimbo, M .; Miwa, T. (1983). "Solitones y álgebras de Lie de dimensión infinita" . Publ. Res. Inst. Matemáticas. Sci . 19 (3): 943–1001. doi : 10.2977 / prims / 1195182017 .
6. Calabrese, Pasquale; Essler, Fabian HL; Mussardo, Giuseppe (27 de junio de 2016). "Introducción a la 'integrabilidad cuántica en sistemas fuera de equilibrio ' " . Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . Publicación de IOP. 2016 (6): 064001. Código bibliográfico : 2016JSMTE..06.4001C . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2016/06/064001 . ISSN 1742-5468 . 
7. Korepin, VE ; Bogoliubov, NM; Izergin, AG (1997). Método de dispersión cuántica inversa y funciones de correlación . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-58646-7.
8. Sinitsyn, NA; Li, F. (2016). "Modelo solucionable multiestado de transiciones Landau-Zener en cavidad QED". Phys. Rev. A . 93 (6): 063859. arXiv : 1602.03136 . Código bibliográfico : 2016PhRvA..93f3859S . doi : 10.1103 / PhysRevA.93.063859 . S2CID 119331736 . 
9. Calogero, F. (2008). "Sistema Calogero-Moser" . Scholarpedia . 3 (8): 7216. Bibcode : 2008SchpJ ... 3.7216C . doi : 10.4249 / scholarpedia.7216 .
10. Clarkson, Peter A .; Nijhoff, Frank W. (1999). Simetrías e integrabilidad de ecuaciones en diferencias . Sociedad Matemática de Londres. 255 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-59699-2.