Excelente anillo
En álgebra conmutativa , un anillo cuasi-excelente es un anillo conmutativo noetheriano que se comporta bien con respecto a la operación de terminación , y se llama anillo excelente si además es universalmente catenario . Los anillos excelentes son una respuesta al problema de encontrar una clase natural de anillos de "buen comportamiento" que contenga la mayoría de los anillos que ocurren en la teoría de números y la geometría algebraica . Hubo un tiempo en que parecía que la clase de anillos noetherianos podría ser una respuesta a este problema, pero Masayoshi Nagatay otros encontraron varios contraejemplos extraños que muestran que, en general, los anillos noetherianos no necesitan comportarse bien: por ejemplo, un anillo local noetheriano normal no necesita ser analíticamente normal .
La clase de anillos excelentes fue definida por Alexander Grothendieck (1965) como candidata a una clase de anillos de buen comportamiento. Se conjetura que los anillos casi excelentes son los anillos base para los que se puede resolver el problema de resolución de singularidades ; Heisuke Hironaka ( 1964 ) mostró esto en la característica 0, pero el caso de característica positiva (a partir de 2016) sigue siendo un problema abierto importante. Esencialmente, todos los anillos de Noether que ocurren naturalmente en geometría algebraica o teoría de números son excelentes; de hecho, es bastante difícil construir ejemplos de anillos de Noether que no sean excelentes.
La definición de anillos excelentes es bastante complicada, por lo que recordamos las definiciones de las condiciones técnicas que satisface. Aunque parece una larga lista de condiciones, la mayoría de los anillos en la práctica son excelentes, como campos , anillos de polinomios , anillos noetherianos completos , dominios de Dedekind sobre la característica 0 (como ), y anillos de cociente y localización de estos anillos.
Finalmente, un anillo es J-2 [2] si cualquier álgebra de tipo finito es J -1 , lo que significa que el subesquema regular está abierto.
Un anillo se llama casi excelente si es un anillo G y un anillo J-2. Se llama excelente [3] pg 214 si es cuasi-excelente y universalmente catenaria . En la práctica, casi todos los anillos de Noether son universalmente catenarios, por lo que hay poca diferencia entre anillos excelentes y casi excelentes.
Un esquema se denomina excelente o cuasi-excelente si está cubierto por subesquemas afines abiertos con la misma propiedad, lo que implica que todo subesquema afín abierto tiene esta propiedad.