Exsecante

Función trigonométrica definida como secante menos uno

Trigonometría
Esquema Historia Uso Funciones  ( inversas ) Trigonometría generalizada
Referencia
Identidades Constantes exactas Mesas Circulo unitario
Leyes y teoremas
Senos Cosenos Tangentes Cotangentes Teorema de pitágoras
Cálculo
Sustitución trigonométrica Integrales  ( funciones inversas ) Derivados
v t mi

La exsecante ( exsec , exs ) y excosecante ( excosec , excsc , exc ) son funciones trigonométricas definidas en términos de las funciones secante y cosecante . Solían ser importantes en campos como la topografía , la ingeniería ferroviaria , la ingeniería civil , la astronomía y la trigonometría esférica y podrían ayudar a mejorar la precisión, pero rara vez se usan hoy en día, excepto para simplificar algunos cálculos.

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . ^[1]

Existente

Las funciones trigonométricas, incluyendo el exsecante, se pueden construir geométricamente en términos de una unidad de círculo con centro en O . El existente es la porción DE de la secante exterior al círculo.

El  existente , ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]} (Latín: secans exterior ^{[10] [11] [12] [13]} ) también conocido como exterior , externa , ^{[14] [15] [16] [17]} externa o secante externa y abreviada como exsec ^{[18] [19] [20] [21]} o exs , ^[22] es una función trigonométrica definida en términos de la secante función sec ( θ ):^[23]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$

El nombre existente se puede entender a partir de una construcción gráfica de las diversas funciones trigonométricas de un círculo unitario , como se usó históricamente. sec ( θ ) es la línea secante OE , y la exsecante es la porción DE de esta secante que se encuentra exterior al círculo ( ex es en latín para fuera de ).

Excosecant

exsecante (azul) y excosecante (verde)

Una función relacionada es la excosecante ^{[5] [24]} o coexsecante , ^{[25] [18] [26]} también conocida como cosecante exterior , externa , ^[17] externa o externa y abreviada como excosec , coexsec , ^{[14] [18 ] [26]} excsc ^{[5] [24]} o exc , ^[22] el existente del ángulo complementario:

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$^[24]

Uso

Importante en campos como la agrimensura , ^[8] ingeniería ferroviaria ^[5] (por ejemplo para trazar curvas de ferrocarril y peralte ), ingeniería civil , astronomía y trigonometría esférica hasta la década de 1980, la función existente ahora se utiliza poco. ^{[8] [23]} Esto se debe principalmente a que la amplia disponibilidad de calculadoras y computadoras ha eliminado la necesidad de tablas trigonométricas de funciones especializadas como esta. ^[8]

La razón para definir una función especial para el existente es similar al razonamiento para el versino : para ángulos pequeños θ , la función sec ( θ ) se acerca a uno , por lo que el uso de la fórmula anterior para el existente implicará la resta de dos casi iguales cantidades, resultando en una cancelación catastrófica . Por lo tanto, una tabla de la función secante necesitaría una precisión muy alta para ser utilizada para la exsecante, lo que haría útil una tabla de exsecantes especializada. Incluso con una computadora, los errores de punto flotante pueden ser problemáticos para los ángulos pequeños existentes, si se usa la definición basada en coseno. Una fórmula más precisa en este límite sería utilizar la identidad:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}$^{[3] [4] [17]}

o

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta )=2\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\csc(\theta ).\ }$^[17]

Antes de la disponibilidad de computadoras, esto requeriría multiplicaciones que consumirían mucho tiempo.

La función existente ya fue utilizada por Galileo Galilei en 1632, aunque todavía la llamó segante (que significa secante ). ^{[27] [28] [29] [30]} El término latino secans exterior se usó desde al menos alrededor de 1745. ^{[10] [11] [12] [13]} El uso del término inglés secante externa y la abreviatura ex. segundo. se remonta al menos a 1855, cuando Charles Haslett publicó la primera tabla conocida de exsecants. ^{[1] [31]} Variaciones como ex secante y exsecestaban en uso en 1880, ^[14] y exsecant se utilizó desde 1894 como mínimo. ^[2]

Los términos coexsecante ^[25] y coexsec ^[2] se pueden encontrar ya en 1880 y ^{[2] [25]} seguidos de excosecante desde 1909. ^[5] La función también fue utilizada por Albert Einstein para describir la energía cinética de fermiones . ^{[29] [30]}

Identidades matemáticas

Derivados

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

Integrales

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$^[21]

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

Funciones inversas

Las funciones inversas arcexsecant ^[26] ( arcexsec , ^{[5] [26]} aexsec , ^{[32] [33]} aexs , exsec ⁻¹ ) y arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , ^[5] aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ^{- 1} ) existen también:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$^{[26] [32] [33]} (para y  ≤ −2 o y  ≥ 0) ^[26]

${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)\,}$

Otras propiedades

Derivado del círculo unitario:

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$

La función existente está relacionada con la función tangente por

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$^[23]

En analogía, la función excosecante está relacionada con la función cotangente por

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$

La función existente está relacionada con la función seno por

${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$

En analogía, la función excosecante está relacionada con la función coseno por

${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\cos(\theta ))^{2}}}}-1.}$^[30]

Las funciones existentes y excosecantes pueden extenderse al plano complejo . ^[21]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[5]

Ver también

• Identidades trigonométricas  : Igualdades que involucran funciones trigonométricas
• Versino  - 1 menos el coseno de un ángulo
• Cuerda  : segmento de línea geométrica cuyos extremos se encuentran en la curva
• Circunferencia y excirculación de un triángulo  : círculos tangentes a los tres lados de un triángulo
• Exponencial menos 1
• Logaritmo natural más 1

Referencias

1. Haslett, Charles (septiembre de 1855). Hackley, Charles W. (ed.). El libro práctico de referencia del mecánico, del maquinista, del ingeniero: contiene tablas y fórmulas para su uso en la medición superficial y sólida; resistencia y peso de los materiales; mecánica; maquinaria; hidráulica, hidrodinámica; motores marinos, química; y recetas variadas. Adaptado y para el uso de todas las clases de mecánica práctica. Junto con el Libro de campo del ingeniero: Contiene fórmulas para las diversas líneas de funcionamiento y cambio, ubicación de vías laterales e interruptores, etc., etc. Tablas de radios y sus logaritmos, senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, senos naturales y tangentes a cada grado y minuto del cuadrante,y logaritmos de los números naturales de 1 a 10,000. Nueva York, Estados Unidos: James G. Gregory, sucesor de WA Townsend & Co. (Stringer & Townsend) . Consultado el 13 de agosto de 2017 . […] Aún así, habría mucho trabajo de cálculo que podría ahorrarse mediante el uso de tablas de secantes externos y senos versados , que han sido empleadas con gran éxito recientemente por los ingenieros del ferrocarril de Ohio y Mississippi., y que, con las fórmulas y reglas necesarias para su aplicación al trazado de curvas, elaboradas por el Sr. Haslett, uno de los Ingenieros de esa Carretera, se dan ahora por primera vez al público. […] Al presentar este trabajo al público, el Autor reclama para él la adaptación de un nuevo principio en el análisis trigonométrico de las fórmulas generalmente utilizadas en los cálculos de campo. La experiencia ha demostrado que los senos versados ​​y las secantes externas entran con tanta frecuencia en los cálculos de curvas como los senos y las tangentes; y por su uso, como se ilustra en los ejemplos dados en este trabajo, se cree que muchas de las reglas de uso general están mucho más simplificadas, y muchos cálculos relacionados con curvas y líneas corridas se hacen menos intrincados, y los resultados se obtienen con más precisión y mucho más. menos problemas,que por cualquier método establecido en obras de este tipo. Todos los ejemplos dados han sido sugeridos por la práctica real y se explicarán por sí mismos. […] Como libro para uso práctico en el trabajo de campo, se cree con seguridad que esto es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier otro trabajo actualmente en uso. Además de las tablas que se encuentran generalmente en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran esfuerzo, una Tabla de senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, calculada en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1 ° a 60 °. […]se cree con seguridad que esto es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier trabajo actualmente en uso. Además de las tablas que se encuentran generalmente en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran esfuerzo, una Tabla de senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, calculada en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1 ° a 60 °. […]se cree con seguridad que esto es más directo en la aplicación de reglas y facilidad de cálculo que cualquier trabajo actualmente en uso. Además de las tablas que se encuentran generalmente en libros de este tipo, el autor ha preparado, con gran esfuerzo, una Tabla de senos naturales y logarítmicos versados ​​y secantes externos, calculada en grados, para cada minuto; también, una Tabla de Radios y sus Logaritmos, de 1 ° a 60 °. […] Edición de 1856
2. Allen, Calvin Frank (1894) [1889]. Curvas de ferrocarril y movimiento de tierras . Nueva York, Estados Unidos; Londres, Reino Unido: Spon & Chamberlain; E. y F. Spon, Ltd . Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
3. Nagle, James C. (1897). "IV.138.-165 .: Curvas de transición; Tabla XIII .: Versinos naturales y Exsecantes" . Manual de campo para ingenieros ferroviarios (1 ed.). Nueva York, Estados Unidos: John Wiley and Sons , Chapman and Hall, Limited . págs. 110-142, 332-354 . Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
4. "Manual de campo para ingenieros ferroviarios" (PDF) . The Engineer (Revisión): 540. 1897-12-03. Archivado (PDF) desde el original el 17 de noviembre de 2015 . Consultado el 17 de noviembre de 2015 .
5. Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (enero de 1909). "Ejercicios de repaso [100] Funciones trigonométricas secundarias". Escrito en Ann Arbor, Michigan, EE. UU. Trigonometría . Parte I: Trigonometría plana. Nueva York, Estados Unidos: Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, Estados Unidos. pag. 125 . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
6. Boyer, Carl Benjamin (1969) [1959]. "5: Comentario sobre el papel de EJ Dijksterhuis (Los orígenes de la mecánica clásica de Aristóteles a Newton)". En Clagett, Marshall (ed.). Problemas críticos en la historia de la ciencia (3 ed.). Madison, Milwaukee y Londres: University of Wisconsin Press, Ltd. págs. 185-190. ISBN 0-299-01874-1. LCCN  59-5304 . 9780299018740 . Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
7. Zucker, Ruth (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 4.3.147: Funciones trascendentales elementales - Funciones circulares" . En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 78. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Señor  0167642 . LCCN  65-12253 .
8. Calvert, James B. (14 de septiembre de 2007) [10 de enero de 2004]. "Trigonometría" . Archivado desde el original el 2 de octubre de 2007 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
9. Tapson, Frank (2004). "Notas de fondo sobre medidas: ángulos" . 1.4. Cleave Books. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2007 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
10. Patu, Andræâ-Claudio (André Claude); Le Tort, Bartholomæus (febrero de 1745). Rivard, Franciscus (Dominique-François) (ed.). Tesis Mathematicæ De Mathesi Generatim (en latín). Colegio Dormano – Bellovaco ( Colegio de Dormans – Beauvais ), París: Ph. N. Lottin. pag. 6 . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
11. Lemonnier, Petro (Pierre) (1750). Genneau, Ludovicum (Ludovico); Rollin, Jacobum (Jacques) (eds.). Physica generalis . Cursus Philosophicus Ad Scholarum Usum Accomodatus (en latín). 3 . Collegio Harcuriano ( Collège d'Harcourt ), París. págs. 303– . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
12. Thysbaert, Jan-Frans (1774). "Articulus II: De situ lineæ rectæ ad Circularem; & de mensura angulorum, quorum vertex non est in circuli centro. §1. De situ lineæ rectæ ad Circularem. Definitio II: [102]". Geometria elementaria et practica (en latín). Lovanii, e typographia academica. pag. 30, desplegable . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
13. van Haecht, Joannes (1784). "Articulus III: De secantibus circuli: Corollarium III: [109]". Geometria elementaria et practica: quam in usum auditorum (en latín). Lovanii, e typographia academica. pag. 24, desplegable . Consultado el 6 de agosto de 2017 .
14. Searles, William Henry (1 de marzo de 1880). Ingeniería de campo: manual de teoría y práctica de topografía, ubicación y construcción de ferrocarriles, diseñado para el aula, el campo y la oficina, y que contiene una gran cantidad de tablas útiles, originales y seleccionadas (PDF) . Nueva York, Estados Unidos: John Wiley & Sons . Archivado (PDF) desde el original el 13 de agosto de 2017 . Consultado el 13 de agosto de 2017 . 8a edición revisada, 1887 16a edición, 1910
15. Cajori, Florian (1952) [Marzo de 1929]. Una historia de notaciones matemáticas . 2 (2 (tercera edición corregida del número de 1929) ed.). Chicago, Estados Unidos: Editorial Open Court . pag. 173. ISBN 978-1-60206-714-1. 1602067147 . Consultado el 11 de noviembre de 2015 . (NB. ISBN y enlace para la reimpresión de la segunda edición de Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013).
16. Swanson, Todd; Andersen, Janet; Keeley, Robert (1999). "5 (Funciones trigonométricas)" (PDF) . Precálculo: un estudio de funciones y sus aplicaciones . Harcourt Brace & Company . pag. 344. Archivado desde el original (PDF) el 17 de junio de 2003 . Consultado el 12 de noviembre de 2015 .
17. Gottschalk, Walter Helbig (2002). Algunas funciones de activación pintorescas, curiosas y casi olvidadas (PDF) . Gestalts de Gottschalk: una serie que ilustra formas innovadoras de organización y exposición de las matemáticas . 80 . Providence, Rhode Island, EE.UU .: Infinite Vistas Press. PVD RI, GG80. Archivado (PDF) desde el original el 25 de septiembre de 2013 . Consultado el 17 de noviembre de 2015 .
18. Frye, Albert I. (1918) [1913]. Libro de bolsillo del ingeniero civil: un libro de referencia para ingenieros, contratistas y estudiantes que contiene reglas, datos, métodos, fórmulas y tablas (2 (corregido) ed.). Nueva York, Estados Unidos; Londres, Reino Unido: D. Van Nostrand Company ; Constable and Company, Ltd. Consultado el 16 de noviembre de 2015 .
19. Kenyon, Alfred Monroe; Ingold, Louis (1913). Trigonometría . Nueva York, Estados Unidos: The Macmillan Company . pag. 5 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
20. Hudson, Ralph Gorton; Lipka, Joseph (1917). Un manual de matemáticas . Nueva York, Estados Unidos: John Wiley & sons . pag. 68 . Consultado el 8 de diciembre de 2015 .
21. Weisstein, Eric Wolfgang (2015) [2005]. "Exsecante" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 29 de noviembre de 2005 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
22. Shaneyfelt, Ted V. "德博士 的 Notas sobre círculos, ज्य y कोज्य: ¿Qué demonios es un hacovercosine?" . Hilo, Hawái: Universidad de Hawái . Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de noviembre de 2015 .
23. Oldham, Keith B .; Myland, Jan C .; Spanier, Jerome (2009) [1987]. "33.13. Las funciones secante sec (x) y cosecante csc (x) - Funciones afines". Un Atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (2 ed.). Springer Science + Business Media, LLC . pag. 336 . doi : 10.1007 / 978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525 .
24. Weisstein, Eric Wolfgang (2015) [2013]. "Excosecant" . MathWorld . Wolfram Research, Inc. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2014 . Consultado el 5 de noviembre de 2015 .
25. Bohannan, Rosser Daniel (1904) [1903]. "$ 131. El Versed Sine, Exsecant y Coexsecant. §132. Ejercicios" . Trigonometría plana . Universidad Estatal de Ohio : Allyn and Bacon, Boston, EE. UU. / JS Cushing & Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, MA. págs. 235-236 . Consultado el 9 de julio de 2017 .
26. van Vlijmen, Oscar (28 de diciembre de 2005) [2003]. "Goniología" . Eenheden, constanten en conversies . Archivado desde el original el 28 de octubre de 2009 . Consultado el 28 de noviembre de 2015 .
27. Galilei, Galileo (1632). Diálogo di Galileo Galilei sopra i due massimi sistemi del mondo Tolemaico e Copernicano [ Diálogo sobre los dos sistemas mundiales principales, ptolemaico y copernicano ] (en italiano).
28. Galilei, Galileo (25 de mayo de 1997) [1632]. Finocchiaro, Maurice A. (ed.). Galileo en los sistemas mundiales: una nueva guía y traducción abreviada . Prensa de la Universidad de California . págs.  184 (n130), 184 (n135), 192 (n158). ISBN 9780520918221. Consultado el 30 de julio de 2017 . […] La palabra de Galileo es segante (que significa secante ), pero claramente pretende exsecante; una exsecante se define como la parte de una secante externa al círculo […]
29. Hawking, Stephen William , ed. (2002). Sobre los hombros de gigantes: las grandes obras de la física y la astronomía . Filadelfia, Estados Unidos: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 . Consultado el 31 de julio de 2017 .
30. Stávek, Jiří (10 de marzo de 2017) [26 de febrero de 2017]. "Sobre la belleza oculta de las funciones trigonométricas" . Investigación en Física Aplicada . Praga, CZ: Centro Canadiense de Ciencia y Educación. 9 (2): 57–64. doi : 10.5539 / apr.v9n2p57 . ISSN 1916-9639 . ISSN 1916-9647 .   [1]
31. Pobre, Henry Varnum , ed. (22 de marzo de 1856). "LIBRO PRÁCTICO DE REFERENCIA y Libro de campo del ingeniero. Por Charles Haslett, CE Editado por el profesor Charles W. Hackley, 1 vol. 12 meses. Pp. 617. Prico $ 2.50. Columbia College, NY Stringer & Townsend" (PDF) . American Railroad Journal - Navegación a vapor, comercio, minería, fabricantes (revisión). Serie de segundo cuarto. JH Schultz & Co. XII (12): 184. Whole No. 1040, vol. XX . Consultado el 14 de agosto de 2017 .
32. Simpson, David G. (8 de noviembre de 2001). "AUXTRIG" ( código fuente de Fortran 90 ). Greenbelt, Maryland, EE.UU .: Centro de vuelo espacial Goddard de la NASA . Archivado desde el original el 16 de junio de 2008 . Consultado el 26 de octubre de 2015 .
33. van den Doel, Kees (25 de enero de 2010). "jass.utils Class Fmath" . JASS - Sistema de síntesis de audio de Java . 1,25. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2007 . Consultado el 26 de octubre de 2015 .