Los primeros estudios de los triángulos se remontan al segundo milenio antes de Cristo , en las matemáticas egipcias ( Papiro matemático de Rhind ) y las matemáticas babilónicas . La trigonometría también prevaleció en las matemáticas kushitas . [1] El estudio sistemático de las funciones trigonométricas se inició en las matemáticas helenísticas , llegando a la India como parte de la astronomía helenística . [2] En la astronomía india , el estudio de las funciones trigonométricas floreció en el período Gupta , especialmente debido a Aryabhata (siglo VI EC), quien descubrió elfunción seno . Durante la Edad Media, el estudio de la trigonometría continuó en las matemáticas islámicas , por matemáticos como Al-Khwarizmi y Abu al-Wafa . Se convirtió en una disciplina independiente en el mundo islámico , donde se conocían las seis funciones trigonométricas . Las traducciones de textos árabes y griegos llevaron a la adopción de la trigonometría como tema en el Occidente latino a partir del Renacimiento con Regiomontanus . El desarrollo de la trigonometría moderna cambió durante la Era de la Ilustración occidental , comenzando con las matemáticas del siglo XVII ( Isaac Newton y James Stirling ) y alcanzando su forma moderna con Leonhard Euler (1748).
Etimología
El término "trigonometría" se deriva del griego τρίγωνον trigōnon , "triángulo" y μέτρον metron , "medida". [3]
La palabra moderna "seno" se deriva de la palabra latina sinus , que significa "bahía", "seno" o "pliegue" es indirectamente, a través de la transmisión india, persa y árabe, derivada del término griego khordḗ "cuerda de arco, acorde ". El término hindú para seno en sánscrito es jyā "cuerda de arco", los hindúes introdujeron originalmente y generalmente empleaban tres funciones trigonométricas jyā, koti-jyā y utkrama-jyā. Los hindúes los definieron como funciones de un arco de un círculo, no de un ángulo, de ahí su asociación con una cuerda de arco, y por lo tanto, la "cuerda de un arco" para el arco se llama "un arco" (dhanu, cāpa). Sus sinónimos son jivā, siñjini, maurvi, guna, etc. La función del seno también se adaptó más tarde en la variante jīvā . [4] El sánscrito jīvā fue traducido (adoptado) al árabe como jiba , escrito jb جب. [5] [6] Esto fue entonces interpretado como la palabra árabe genuina jayb , que significa "seno, pliegue, bahía", [6] ya sea por los árabes o por un error de los traductores europeos como Robert de Chester , quien tradujo jayb al latín como sinus . [5] En particular Fibonacci 's arcus recto sinusal demostró influyente en el establecimiento de la expresión del seno . [7] Las palabras "minuto" y "segundo" se derivan de las frases latinas partes minutae primae y partes minutae secundae . [8] Estos se traducen aproximadamente como "primeras partes pequeñas" y "segundas partes pequeñas".
Desarrollo
Antiguo Cercano Oriente
Los antiguos egipcios y babilonios habían conocido teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos similares durante muchos siglos. Sin embargo, como las sociedades prehelénicas carecían del concepto de medida de ángulo, se limitaron a estudiar los lados de los triángulos. [9]
Los astrónomos babilónicos mantuvieron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas , el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares , todo lo cual requería familiaridad con las distancias angulares medidas en la esfera celeste . [6] Basado en una interpretación de la tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afirmado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. [10] Sin embargo, hay mucho debate sobre si se trata de una tabla de triples pitagóricas , una solución de ecuaciones cuadráticas o una tabla trigonométrica .
Los egipcios, por otro lado, utilizaron una forma primitiva de trigonometría para construir pirámides en el segundo milenio antes de Cristo. [6] El papiro matemático de Rhind , escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría: [6]
"Si una pirámide tiene 250 codos de alto y el lado de su base 360 codos de largo, ¿cuál es su secado ?"
La solución de Ahmes al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura, o la relación de subida y bajada de su cara. En otras palabras, la cantidad que encontró para el seked es la cotangente del ángulo a la base de la pirámide y su cara. [6]
Antigüedad clásica
Los antiguos matemáticos griegos y helenísticos hicieron uso del acorde . Dado un círculo y un arco en el círculo, la cuerda es la línea que subtiende el arco. La bisectriz perpendicular de una cuerda pasa por el centro del círculo y biseca el ángulo. La mitad de la cuerda bisecada es el seno de la mitad del ángulo bisecado, es decir, [11]
y en consecuencia, la función seno también se conoce como medio acorde . Debido a esta relación, una serie de identidades y teoremas trigonométricos que se conocen hoy también eran conocidos por los matemáticos helenísticos , pero en su forma de acorde equivalente. [12] [13]
Aunque no hay trigonometría en las obras de Euclides y Arquímedes , en el sentido estricto de la palabra, hay teoremas presentados de forma geométrica (en lugar de forma trigonométrica) que son equivalentes a leyes o fórmulas trigonométricas específicas. [9] Por ejemplo, las proposiciones doce y trece del libro dos de los Elementos son las leyes de los cosenos para ángulos obtusos y agudos, respectivamente. Los teoremas sobre la longitud de los acordes son aplicaciones de la ley de los senos . Y el teorema de Arquímedes sobre cuerdas rotas es equivalente a fórmulas para senos de sumas y diferencias de ángulos. [9] Para compensar la falta de una tabla de acordes , los matemáticos de la época de Aristarco a veces usaban la afirmación de que, en notación moderna, sin α / sin β < α / β
La primera tabla trigonométrica aparentemente fue compilada por Hiparco de Nicea (180-125 a. C.), quien ahora es conocido como "el padre de la trigonometría". [15] Hiparco fue el primero en tabular los valores correspondientes de arco y cuerda para una serie de ángulos. [7] [15]
Aunque no se sabe cuándo entró en las matemáticas el uso sistemático del círculo de 360 °, se sabe que la introducción sistemática del círculo de 360 ° se produjo un poco después de que Aristarco de Samos compuso Sobre los tamaños y distancias del sol y la luna (ca 260 aC), ya que midió un ángulo en términos de una fracción de un cuadrante. [14] Parece que el uso sistemático del círculo de 360 ° se debe en gran parte a Hiparco y su tabla de acordes . Hiparco pudo haber tomado la idea de esta división de Hipsicles, quien anteriormente había dividido el día en 360 partes, una división del día que pudo haber sido sugerida por la astronomía babilónica. [16] En la astronomía antigua, el zodíaco se había dividido en doce "signos" o treinta y seis "decanatos". Un ciclo estacional de aproximadamente 360 días podría haber correspondido a los signos y decanos del zodíaco al dividir cada signo en treinta partes y cada decanato en diez partes. [8] Es debido al sistema de numeración sexagesimal babilónico que cada grado se divide en sesenta minutos y cada minuto se divide en sesenta segundos. [8]
Menelao de Alejandría (ca. 100 d. C.) escribió en tres libros su Sphaerica . En el Libro I, estableció una base para triángulos esféricos análogos a la base euclidiana para triángulos planos. [13] Establece un teorema sin analogía euclidiana, que dos triángulos esféricos son congruentes si los ángulos correspondientes son iguales, pero no distinguió entre triángulos esféricos congruentes y simétricos. [13] Otro teorema que establece es que la suma de los ángulos de un triángulo esférico es mayor que 180 °. [13] El libro II de Sphaerica aplica la geometría esférica a la astronomía. Y el Libro III contiene el "teorema de Menelao". [13] Además, dio su famosa "regla de las seis cantidades". [17]
Más tarde, Claudio Ptolomeo (ca. 90 - ca. 168 d. C.) amplió los acordes en círculo de Hiparco en su Almagesto , o la sintaxis matemática . El Almagest es principalmente un trabajo sobre astronomía, y la astronomía se basa en la trigonometría. La tabla de cuerdas de Ptolomeo da las longitudes de las cuerdas de un círculo de diámetro 120 en función del número de grados n en el arco correspondiente del círculo, para n que van de 1/2 a 180 en incrementos de 1/2. [18] Los trece libros del Almagest son la obra trigonométrica más influyente y significativa de toda la antigüedad. [19] Un teorema que fue fundamental para el cálculo de las cuerdas de Ptolomeo fue lo que todavía se conoce hoy como el teorema de Ptolomeo , según el cual la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales. Un caso especial del teorema de Ptolomeo apareció como proposición 93 en Euclid's Data . El teorema de Ptolomeo conduce al equivalente de las cuatro fórmulas de suma y diferencia para el seno y el coseno que se conocen hoy como fórmulas de Ptolomeo, aunque el propio Ptolomeo usó acordes en lugar de seno y coseno. [19] Ptolomeo derivó además el equivalente de la fórmula de medio ángulo.
- [19]
Ptolomeo usó estos resultados para crear sus tablas trigonométricas, pero no se puede determinar si estas tablas se derivaron del trabajo de Hipparchus. [19]
Ni las tablas de Hiparco ni las de Ptolomeo han sobrevivido hasta nuestros días, aunque las descripciones de otros autores antiguos dejan pocas dudas de que alguna vez existieron. [20]
Pitágoras descubrió muchas de las propiedades de lo que se convertiría en funciones trigonométricas. El Teorema de Pitágoras , p 2 + b 2 = h 2 es una representación de la identidad trigonométrica fundamental sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1. La longitud 1 es la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo, y tiene catetos de longitud sin (x) y cos (x) siendo x uno de los dos ángulos no rectos. Teniendo esto en cuenta, la identidad sobre la que se basa la trigonometría resulta ser el Teorema de Pitágoras.
Matemáticas indias
Algunos de los primeros y muy importantes desarrollos de la trigonometría se produjeron en la India . Obras influyentes de los siglos IV a V d.C., conocidas como Siddhantas (de las cuales había cinco, la más importante de las cuales es la Surya Siddhanta [21] ) definieron por primera vez el seno como la relación moderna entre medio ángulo y medio acorde. , mientras que también define el coseno, el verseno y el seno inverso . [22] Poco después, otro matemático y astrónomo indio , Aryabhata (476–550 d. C.), recopiló y amplió los desarrollos de los Siddhantas en una obra importante llamada Aryabhatiya . [23] Los Siddhantas y Aryabhatiya contienen las tablas más antiguas de valores de seno y valores de verseno (1 - coseno), en intervalos de 3,75 ° de 0 ° a 90 °, con una precisión de 4 lugares decimales. [24] Usaron las palabras jya para seno, kojya para coseno, utkrama-jya para versine y otkram jya para seno inverso. Las palabras jya y kojya finalmente se convirtieron en seno y coseno, respectivamente, después de una mala traducción descrita anteriormente.
En el siglo VII, Bhaskara I produjo una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla. También dio la siguiente fórmula de aproximación para sen ( x ), que tenía un error relativo de menos del 1,9%:
Más tarde, en el siglo VII, Brahmagupta volvió a desarrollar la fórmula
(también derivado anteriormente, como se mencionó anteriormente) y la fórmula de interpolación de Brahmagupta para calcular los valores del seno. [10]
Otro autor indio posterior sobre trigonometría fue Bhaskara II en el siglo XII. Bhaskara II desarrolló la trigonometría esférica y descubrió muchos resultados trigonométricos.
Bhaskara II fue el primero en descubrir y resultados trigonométricos como:
Madhava (c. 1400) hizo avances tempranos en el análisis de funciones trigonométricas y sus expansiones en series infinitas . Desarrolló los conceptos de la serie de potencias y la serie de Taylor , y produjo las expansiones de series de potencias de seno, coseno, tangente y arcoangente. [25] [26] Usando las aproximaciones de la serie de Taylor de seno y coseno, produjo una tabla de seno con 12 lugares decimales de precisión y una tabla de coseno con 9 lugares decimales de precisión. También dio la serie de potencias de π y el ángulo , radio , diámetro y circunferencia de un círculo en términos de funciones trigonométricas. Sus obras fueron ampliadas por sus seguidores en la Escuela de Kerala hasta el siglo XVI. [25] [26]
No. | Serie | Nombre | Descubridores occidentales de la serie y fechas aproximadas de descubrimiento [27] |
---|---|---|---|
1 | pecado x = x - x 3 /3! + X 5 /5! - x 7 /7! + ... | Serie del seno de Madhava | Isaac Newton (1670) y Wilhelm Leibniz (1676) |
2 | cos x = 1 - x 2 /2! + X 4 /4! - x 6 /6! + ... | Serie de coseno de Madhava | Isaac Newton (1670) y Wilhelm Leibniz (1676) |
3 | bronceado -1 x = x - x 3 /3 + x 5 /5 - x 7 /7 + ... | La serie arcangente de Madhava | James Gregory (1671) y Wilhelm Leibniz (1676) |
El texto indio Yuktibhāṣā contiene pruebas de la expansión de las funciones seno y coseno y la derivación y prueba de la serie de potencias para la tangente inversa , descubierta por Madhava. El Yuktibhāṣā también contiene reglas para encontrar los senos y cosenos de la suma y diferencia de dos ángulos.
Matemáticas chinas
En China , la tabla de senos de Aryabhata se tradujo al libro matemático chino de Kaiyuan Zhanjing , compilado en el 718 d. C. durante la dinastía Tang . [28] Aunque los chinos sobresalieron en otros campos de las matemáticas como la geometría sólida, el teorema del binomio y fórmulas algebraicas complejas, las formas tempranas de trigonometría no fueron tan apreciadas como en los mundos griego, helenístico, indio e islámico. [29] En cambio, los primeros chinos utilizaron un sustituto empírico conocido como chong cha , mientras que se conocía el uso práctico de la trigonometría plana en el uso del seno, la tangente y la secante. [28] Sin embargo, este estado embrionario de la trigonometría en China comenzó a cambiar y avanzar lentamente durante la dinastía Song (960-1279), donde los matemáticos chinos comenzaron a expresar un mayor énfasis por la necesidad de la trigonometría esférica en la ciencia del calendario y los cálculos astronómicos. [28] El gran pensador científico chino, matemático y oficial Shen Kuo (1031-1095) utilizó funciones trigonométricas para resolver problemas matemáticos de cuerdas y arcos. [28] Victor J. Katz escribe que en la fórmula de Shen "técnica de intersección de los círculos", creó una aproximación del arco s de un círculo dado el diámetro d , sagitta v , y la longitud c de la cuerda que subtiende el arco, la longitud de los cuales se aproximó a [30]
Sal Restivo escribe que el trabajo de Shen en las longitudes de arcos de círculos proporcionó la base para la trigonometría esférica desarrollada en el siglo XIII por el matemático y astrónomo Guo Shoujing (1231-1316). [31] Como afirman los historiadores L. Gauchet y Joseph Needham, Guo Shoujing utilizó la trigonometría esférica en sus cálculos para mejorar el sistema de calendario y la astronomía china . [28] [32] Junto con una ilustración china posterior del siglo XVII de las pruebas matemáticas de Guo, Needham afirma que:
Guo usó una pirámide esférica cuadrangular, cuyo cuadrilátero basal consistía en un arco ecuatorial y uno eclíptico, junto con dos arcos meridianos , uno de los cuales pasaba por el punto del solsticio de verano ... Por tales métodos pudo obtener el du lü (grados del ecuador correspondientes a grados de eclíptica), el ji cha (valores de cuerdas para arcos eclípticos dados) y el cha lü (diferencia entre cuerdas de arcos que difieren en 1 grado). [33]
A pesar de los logros del trabajo de Shen y Guo en trigonometría, otro trabajo sustancial en trigonometría china no se volvería a publicar hasta 1607, con la publicación dual de Elementos de Euclides por el oficial y astrónomo chino Xu Guangqi (1562-1633) y el jesuita italiano Matteo Ricci. (1552-1610). [34]
Mundo islámico medieval
Los trabajos anteriores fueron posteriormente traducidos y expandidos en el mundo islámico medieval por matemáticos musulmanes de ascendencia mayoritariamente persa y árabe , quienes enunciaron un gran número de teoremas que liberaron al tema de la trigonometría de la dependencia del cuadrilátero completo , como fue el caso de las matemáticas helenísticas debido a la aplicación del teorema de Menelao . Según ES Kennedy, fue después de este desarrollo de la matemática islámica que "surgió la primera trigonometría real, en el sentido de que sólo entonces el objeto de estudio se convirtió en el triángulo esférico o plano , sus lados y ángulos ". [35]
También se conocían métodos que trataban con triángulos esféricos, en particular el método de Menelao de Alejandría , quien desarrolló el "teorema de Menelao" para tratar problemas esféricos. [13] [36] Sin embargo, ES Kennedy señala que si bien en las matemáticas preislámicas era posible calcular las magnitudes de una figura esférica, en principio, mediante el uso de la tabla de acordes y el teorema de Menelao, la aplicación de la El teorema de los problemas esféricos era muy difícil en la práctica. [37] Con el fin de observar los días sagrados en el calendario islámico en los que los tiempos estaban determinados por las fases de la luna , los astrónomos inicialmente utilizaron el método de Menelao para calcular el lugar de la luna y las estrellas , aunque este método resultó ser torpe y difícil. Implicó la creación de dos triángulos rectángulos que se cruzan ; aplicando el teorema de Menelao era posible resolver uno de los seis lados, pero solo si se conocían los otros cinco. Para saber la hora del sol 's altitud , por ejemplo, las aplicaciones repetidas de Menelao teorema fueron requeridos. Para los astrónomos islámicos medievales , era un desafío obvio encontrar un método trigonométrico más simple. [38]
A principios del siglo IX d.C., Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī produjo tablas precisas de seno y coseno, y la primera tabla de tangentes. También fue pionero en trigonometría esférica . En el 830 d.C., Habash al-Hasib al-Marwazi produjo la primera tabla de cotangentes. [39] [40] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (Albatenius) (853-929 dC) descubrió las funciones recíprocas de secante y cosecante, y produjo la primera tabla de cosecantes para cada grado de 1 ° a 90 °. [40]
En el siglo X d.C., en la obra de Abū al-Wafā 'al-Būzjānī , los matemáticos musulmanes usaban las seis funciones trigonométricas . [41] Abu al-Wafa tenía tablas de senos en incrementos de 0,25 °, hasta 8 lugares decimales de precisión, y tablas precisas de valores de tangente. [41] También desarrolló la siguiente fórmula trigonométrica: [42]
- (un caso especial de la fórmula de adición de ángulos de Ptolomeo; ver arriba)
En su texto original, Abū al-Wafā 'dice: "Si queremos eso, multiplicamos el seno dado por los minutos del coseno , y el resultado es la mitad del seno del doble". [42] Abū al-Wafā también estableció la suma de ángulos y las identidades de diferencia presentadas con pruebas completas: [42]
Para el segundo, el texto dice: "Multiplicamos el seno de cada uno de los dos arcos por el coseno de los otros minutos . Si queremos el seno de la suma, sumamos los productos, si queremos el seno de la diferencia , tomamos su diferencia ". [42]
También descubrió la ley de los senos para la trigonometría esférica: [39]
También a finales del siglo X y principios del XI d. C., el astrónomo egipcio Ibn Yunus realizó muchos cálculos trigonométricos cuidadosos y demostró la siguiente identidad trigonométrica : [43]
Al-Jayyani (989-1079) de al-Andalus escribió El libro de los arcos desconocidos de una esfera , que se considera "el primer tratado sobre trigonometría esférica ". [44] "Contiene fórmulas para triángulos derechos , la ley general de los senos y la solución de un triángulo esférico por medio del triángulo polar". Este tratado tuvo más tarde una "fuerte influencia en las matemáticas europeas", y su "definición de proporciones como números" y "método para resolver un triángulo esférico cuando todos los lados son desconocidos" probablemente hayan influido en Regiomontanus . [44]
El método de triangulación fue desarrollado por primera vez por matemáticos musulmanes, que lo aplicaron a usos prácticos como la topografía [45] y la geografía islámica , como lo describió Abu Rayhan Biruni a principios del siglo XI. El propio Biruni introdujo técnicas de triangulación para medir el tamaño de la Tierra y las distancias entre varios lugares. [46] A finales del siglo XI, Omar Khayyám (1048-1131) resolvió ecuaciones cúbicas utilizando soluciones numéricas aproximadas encontradas por interpolación en tablas trigonométricas. En el siglo XIII, Nasīr al-Dīn al-Tūsī fue el primero en tratar la trigonometría como una disciplina matemática independiente de la astronomía, y desarrolló la trigonometría esférica en su forma actual. [40] Enumeró los seis casos distintos de un triángulo rectángulo en trigonometría esférica, y en su En la figura del sector , estableció la ley de los senos para los triángulos planos y esféricos, descubrió la ley de las tangentes para los triángulos esféricos y proporcionó pruebas de ambas leyes. [47] Nasir al-Din al-Tusi ha sido descrito como el creador de la trigonometría como disciplina matemática por derecho propio. [48] [49] [50]
En el siglo XV, Jamshīd al-Kāshī proporcionó la primera declaración explícita de la ley de los cosenos en una forma adecuada para la triangulación . [ cita requerida ] En Francia , la ley de los cosenos todavía se conoce como el teorema de Al-Kashi . También dio tablas trigonométricas de valores de la función seno a cuatro dígitos sexagesimales (equivalentes a 8 lugares decimales) por cada 1 ° de argumento con diferencias que se agregarían por cada 1/60 de 1 °. [ cita requerida ] Ulugh Beg también proporciona tablas precisas de senos y tangentes correctas a 8 lugares decimales aproximadamente al mismo tiempo. [ cita requerida ]
Renacimiento europeo y después
En 1342, Levi ben Gershon, conocido como Gersonides , escribió Sobre senos, cuerdas y arcos , en particular probando la ley del seno para triángulos planos y dando tablas de senos de cinco cifras . [51]
Una tabla trigonométrica simplificada, la " toleta de marteloio ", fue utilizada por los navegantes en el mar Mediterráneo durante los siglos XIV-XV para calcular los rumbos de navegación . Está descrito por Ramon Llull de Mallorca en 1295 y recogido en el atlas de 1436 del capitán veneciano Andrea Bianco .
Regiomontanus fue quizás el primer matemático en Europa en tratar la trigonometría como una disciplina matemática distinta, [52] en su De triangulis omnimodis escrito en 1464, así como en su posterior Tabulae directionum que incluía la función tangente, sin nombre. El Opus palatinum de triangulis de Georg Joachim Rheticus , un estudiante de Copérnico , fue probablemente el primero en Europa en definir funciones trigonométricas directamente en términos de triángulos rectángulos en lugar de círculos, con tablas para las seis funciones trigonométricas; Este trabajo fue terminado por el estudiante de Rheticus, Valentin Otho, en 1596.
En el siglo XVII, Isaac Newton y James Stirling desarrollaron la fórmula de interpolación general de Newton-Stirling para funciones trigonométricas.
En el siglo XVIII, la Introductio in analysin infinitorum (1748) de Leonhard Euler fue la principal responsable de establecer el tratamiento analítico de las funciones trigonométricas en Europa, derivando sus series infinitas y presentando la " fórmula de Euler " e ix = cos x + i sen x . Euler usó las abreviaturas casi modernas pecado. , cos. , espiga. , cuna. , sec. y cosec. Antes de esto, Roger Cotes había calculado la derivada del seno en su Harmonia Mensurarum (1722). [53] También en el siglo XVIII, Brook Taylor definió la serie general de Taylor y dio a la serie expansiones y aproximaciones para las seis funciones trigonométricas. Las obras de James Gregory en el siglo XVII y Colin Maclaurin en el siglo XVIII también fueron muy influyentes en el desarrollo de las series trigonométricas.
Ver también
- Matemáticas griegas
- Historia de las matematicas
- Funciones trigonométricas
- Trigonometría
- Tabla de acordes de Ptolomeo
- Tabla de seno de Aryabhata
- Trigonometría racional
Citas y notas a pie de página
- ^ Otto Neugebauer (1975). Una historia de la astronomía matemática antigua. 1 . Springer-Verlag. pag. 744. ISBN 978-3-540-06995-9.
- ^ Katz 1998 , p. 212. Error sfn: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFKatz1998 ( ayuda )
- ^ "trigonometría" . Diccionario de etimología en línea .
- ^ Jambhekar, Ashok (enero de 1983). "Libros indios del barrio". India Quarterly: una revista de asuntos internacionales . 39 (1): 106–108. doi : 10.1177 / 097492848303900122 . ISSN 0974-9284 .
- ↑ a b Boyer , 1991 , p. 252 error harvnb: múltiples objetivos (8 ×): CITEREFBoyer1991 ( ayuda ) : Fue la traducción del árabe de Robert de Chester la que dio como resultado nuestra palabra "sine". Los hindúes le habían dado el nombre de jiva al medio acorde en trigonometría, y los árabes lo habían tomado como jiba. En el idioma árabe también existe la palabra jaib que significa "bahía" o "ensenada". Cuando Robert de Chester llegó a traducir la palabra técnica jiba, parece haberla confundido con la palabra jaib (quizás porque se omitieron las vocales); por lo tanto, usó la palabra sinus, la palabra latina para "bahía" o "entrada".
- ^ a b c d e f Maor, Eli (1998). Delicias trigonométricas . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 20 . ISBN 978-0-691-09541-7.
- ^ a b O'Connor, JJ; Robertson, EF (1996). "Funciones trigonométricas" . Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas .
- ^ a b c Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pp. 166 -167.
Debe recordarse que desde los días de Hiparco hasta los tiempos modernos no existían las razones trigonométricas . Los griegos, y después de ellos los hindúes y los árabes, utilizaron líneas trigonométricas . Estos al principio tomaron la forma, como hemos visto, de acordes en un círculo, y le correspondió a Ptolomeo asociar valores numéricos (o aproximaciones) con los acordes. [...] No es improbable que la medida de 260 grados haya sido transferida de la astronomía, donde el zodíaco se había dividido en doce "signos" o 36 "decanatos". Se podría hacer fácilmente un ciclo de las estaciones de aproximadamente 360 días para que se corresponda con el sistema de signos zodiacales y decanatos subdividiendo cada signo en treinta partes y cada decanato en diez partes. Nuestro sistema común de medida de ángulos puede provenir de esta correspondencia. Además, dado que el sistema de posición babilónico para las fracciones era tan obviamente superior a las fracciones unitarias egipcias y las fracciones comunes griegas, era natural que Ptolomeo subdividiera sus grados en sesenta partes minutae primae , cada una de estas últimas en sesenta partes minutae secundae , y así en. De las frases latinas que los traductores utilizaron a este respecto, se han derivado nuestras palabras "minuto" y "segundo". Sin duda fue el sistema sexagesimal lo que llevó a Ptolomeo a subdividir el diámetro de su círculo trigonométrico en 120 partes; cada uno de estos los subdividió en sesenta minutos y cada minuto de duración sesenta segundos.
- ^ a b c Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pp. 158 -159.
La trigonometría, como otras ramas de las matemáticas, no fue obra de ningún hombre o nación. Los teoremas sobre las proporciones de los lados de triángulos similares eran conocidos y utilizados por los antiguos egipcios y babilonios. En vista de la falta prehelénica del concepto de medida de ángulo, tal estudio podría llamarse mejor "trilaterometría", o la medida de polígonos de tres lados (trilaterales), que "trigonometría", la medida de partes de un triángulo. Con los griegos encontramos primero un estudio sistemático de las relaciones entre ángulos (o arcos) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Las propiedades de los acordes, como medidas de ángulos centrales e inscritos en círculos, eran familiares para los griegos de la época de Hipócrates, y es probable que Eudoxo hubiera usado razones y medidas de ángulos para determinar el tamaño de la tierra y las distancias relativas del sol. y la luna. En las obras de Euclides no hay trigonometría en el sentido estricto de la palabra, pero hay teoremas equivalentes a leyes o fórmulas trigonométricas específicas. Las proposiciones II.12 y 13 de los Elementos , por ejemplo, son las leyes de los cosenos para ángulos obtusos y agudos respectivamente, expresadas en lenguaje geométrico en lugar de trigonométrico y probadas por un método similar al usado por Euclides en conexión con el teorema de Pitágoras. Los teoremas sobre la longitud de los acordes son esencialmente aplicaciones de la ley moderna de los senos. Hemos visto que el teorema de Arquímedes sobre la cuerda rota puede traducirse fácilmente a un lenguaje trigonométrico análogo a las fórmulas para senos de sumas y diferencias de ángulos.
- ^ a b Joseph 2000 , págs. 383–384.
- ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2ª ed.), Addison Wesley Longman, p. 143, ISBN 0-321-01618-1
- ^ Como estos cálculos históricos no utilizaron un círculo unitario, se necesitaba la longitud del radio en la fórmula. Compare esto con el uso moderno de la función crd que asume un círculo unitario en su definición.
- ^ a b c d e f Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pag. 163 .
En el libro I de este tratado, Menelao establece una base para triángulos esféricos análoga a la de Euclides I para triángulos planos. Se incluye un teorema sin análogo euclidiano: que dos triángulos esféricos son congruentes si los ángulos correspondientes son iguales (Menelao no distinguió entre triángulos esféricos congruentes y simétricos); y se establece el teorema A + B + C > 180 °. El segundo libro de la Sphaerica describe la aplicación de la geometría esférica a los fenómenos astronómicos y tiene poco interés matemático. El libro III, el último, contiene el conocido "teorema de Menelao" como parte de lo que es esencialmente trigonometría esférica en la forma griega típica: una geometría o trigonometría de cuerdas en un círculo. En el círculo de la figura 10.4 debemos escribir que la cuerda AB es el doble del seno de la mitad del ángulo central AOB (multiplicado por el radio del círculo). Menelao y sus sucesores griegos se refirieron a AB simplemente como el acorde correspondiente al arco AB. Si BOB 'es un diámetro del círculo, entonces la cuerda A' es el doble del coseno de la mitad del ángulo AOB (multiplicado por el radio del círculo).
- ^ a b Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pag. 159 .
En cambio, tenemos un tratado, quizás compuesto antes (ca. 260 aC), Sobre los tamaños y distancias del Sol y la Luna , que asume un universo geocéntrico. En este trabajo, Aristarco hizo la observación de que cuando la luna está medio llena, el ángulo entre las líneas de visión del sol y la luna es menos de un ángulo recto en una trigésima parte de un cuadrante. (La introducción sistemática del círculo de 360 ° se produjo un poco más tarde. En el lenguaje trigonométrico de hoy, esto significaría que la relación entre la distancia de la luna y la del sol (la relación ME a SE en la figura 10.1) es sin ( 3 °) .Aún no desarrolladas las tablas trigonométricas, Aristarco recurrió a un teorema geométrico muy conocido de la época que ahora se expresaría en las desigualdades sen α / sen β <α / β
- ^ a b Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pag. 162 .
Durante unos dos siglos y medio, desde Hipócrates hasta Eratóstenes, los matemáticos griegos habían estudiado las relaciones entre líneas y círculos y las habían aplicado en una variedad de problemas astronómicos, pero no había resultado una trigonometría sistemática. Luego, presumiblemente durante la segunda mitad del siglo II a. C., la primera tabla trigonométrica aparentemente fue compilada por el astrónomo Hiparco de Nicea (ca. 180-ca. 125 a. C.), quien así se ganó el derecho a ser conocido como "el padre de trigonometría". Aristarco sabía que en un círculo dado la relación de arco a cuerda disminuye a medida que el arco disminuye de 180 ° a 0 °, tendiendo hacia un límite de 1. Sin embargo, parece que no hasta que Hiparco emprendió la tarea, nadie tabuló los valores correspondientes de arco y cuerda para toda una serie de ángulos.
- ^ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Trigonometría y medición griegas". Una historia de las matemáticas . John Wiley e hijos. pag. 162 .
No se sabe exactamente cuándo entró en las matemáticas el uso sistemático del círculo de 360 °, pero parece deberse en gran parte a Hiparco en relación con su tabla de acordes. Es posible que tomara el relevo de Hipsicles, quien anteriormente había dividido el día en partes, una subdivisión que pudo haber sido sugerida por la astronomía babilónica.
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El teorema de Menelao jugó un papel fundamental en la trigonometría esférica y la astronomía, pero la obra trigonométrica más influyente y significativa de toda la antigüedad fue compuesta por Ptolomeo de Alejandría aproximadamente medio siglo después de Menelao. [...] De la vida del autor estamos tan poco informados como de la del autor de los Elementos. No sabemos cuándo ni dónde nacieron Euclides y Ptolomeo. Sabemos que Tolomeo hizo observaciones en Alejandría desde AD. 127 a 151 y, por tanto, supongamos que nació a finales del siglo I. Suidas, un escritor que vivió en el siglo X, informó que Ptolomeo estaba vivo bajo Marco Aurelio (emperador del 161 al 180 d.C.). Se presume que Almagest
de Ptolomeo está muy endeudado por sus métodos con los Acordes en un Círculo de Hiparco, pero el alcance del endeudamiento no se puede evaluar de manera confiable. Está claro que en astronomía Ptolomeo hizo uso del catálogo de posiciones estelares legado por Hiparco, pero no se puede determinar si las tablas trigonométricas de Ptolomeo se derivaron en gran parte de su distinguido predecesor. [...] Para el cálculo de los acordes de Ptolomeo era fundamental una proposición geométrica que todavía se conoce como "teorema de Ptolomeo": [...] es decir, la suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales. [...] Un caso especial del teorema de Ptolomeo había aparecido en Datos de Euclides (Proposición 93): [...] El teorema de Ptolomeo, por lo tanto, conduce al resultado sin ( α - β ) = sin α cos β - cos α sin Β . Un razonamiento similar conduce a la fórmula [...] Estas cuatro fórmulas de suma y diferencia, en consecuencia, a menudo se conocen hoy como fórmulas de Ptolomeo.
Fue la fórmula del seno de la diferencia —o, más exactamente, el acorde de la diferencia— lo que Ptolomeo encontró especialmente útil para construir sus tablas. Otra fórmula que le sirvió eficazmente fue el equivalente a nuestra fórmula de medio ángulo. - ^ Boyer 1991 , págs. 158-168. error sfn: varios objetivos (8 ×): CITEREFBoyer1991 ( ayuda )
- ^ Boyer 1991 , p. 208. Error sfn: múltiples objetivos (8 ×): CITEREFBoyer1991 ( ayuda )
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- ^ Boyer 1991 , p. 210. Error sfn: múltiples objetivos (8 ×): CITEREFBoyer1991 ( ayuda )
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Una de las contribuciones matemáticas más importantes de al-Tusi fue la creación de la trigonometría como una disciplina matemática por derecho propio más que como una simple herramienta para aplicaciones astronómicas. En Tratado sobre el cuadrilátero, al-Tusi dio la primera exposición existente de todo el sistema de trigonometría plana y esférica. Este trabajo es realmente el primero en la historia sobre la trigonometría como una rama independiente de las matemáticas puras y el primero en el que se exponen los seis casos de un triángulo esférico en ángulo recto.
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Se dice que su mayor contribución a las matemáticas (Nasr, 1996, págs. 208-214) está en la trigonometría, que por primera vez fue compilada por él como una nueva disciplina por derecho propio. La trigonometría esférica también debe su desarrollo a sus esfuerzos, y esto incluye el concepto de las seis fórmulas fundamentales para la solución de triángulos esféricos rectángulos.
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Referencias
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Otras lecturas
- Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie , a través de Internet Archive