En microeconomía , la función de gasto da la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita gastar para alcanzar algún nivel de utilidad , dada una función de utilidad y los precios de los bienes disponibles.
Formalmente, si hay una función de utilidad que describe las preferencias sobre n productos básicos, la función de gasto
dice qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad si los n precios están dados por el vector de precios. Esta función está definida por
dónde
es el conjunto de todos los paquetes que dan una utilidad al menos tan buena como .
Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto sujeto a la restricción de utilidad mínima que dando cantidades óptimas para consumir de los diversos bienes como en función de y los precios; entonces la función de gasto es
Características de las funciones de gasto
(Propiedades de la función de gasto) Suponga que u es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en Rn +. Entonces e (p, u) es
1. Homogéneo de grado uno en p: para todos y > 0,
2. Continuo en y
3. No aumenta en y estrictamente aumentando en previsto
4. Cóncavo en
5. Si la función de utilidad es estrictamente cuasi-convexa, existe el lema de Shephard
Prueba
(1) Como en la proposición anterior, tenga en cuenta que
(2) Continuar en el dominio :
(3) Deja y supongo . Luego, y . De ello se deduce inmediatamente que.
Para el segundo enunciado, suponga lo contrario que para algunos , Que, para algunos , , que contradice la conclusión de "sin exceso de utilidad" de la proposición anterior
(4) Deja y supongo . Luego, y , entonces .
(5)
Gasto y utilidad indirecta
La función de gasto es la inversa de la función de utilidad indirecta cuando los precios se mantienen constantes. Es decir, para cada vector de precio y nivel de ingresos : [1] : 106
Existe una relación de dualidad entre la función de gasto y la función de utilidad. Si se le da una función de utilidad cuasi cóncava regular específica, el precio correspondiente es homogéneo y la utilidad es una función de gasto que aumenta monótonamente, a la inversa, el precio dado es homogéneo y la función de gasto que aumenta monótonamente genera la utilidad cuasi cóncava regular función. Además de la propiedad de que los precios alguna vez son homogéneos y la utilidad aumenta monótonamente, la función de gasto generalmente asume
(1) es una función no negativa, es decir,
(2) Para P, no es decreciente, es decir, ;
(3) E (Pu) es una función cóncava. Es decir,
La función de gasto es un método teórico importante para estudiar el comportamiento del consumidor. La función de gasto es muy similar a la función de costo en la teoría de la producción. Al problema de la maximización de la utilidad, se suma el problema de la minimización de costos [2] [3]
Ejemplo
Suponga que la función de utilidad es la función Cobb-Douglasque genera las funciones de demanda [4]
dónde es la renta del consumidor. Una forma de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta y luego invertirla. La función de utilidad indirecta se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda así:
dónde Entonces desde cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto:
Alternativamente, la función de gasto se puede encontrar resolviendo el problema de minimizar sujeto a la restricción Esto produce funciones de demanda condicionadas y y la función de gasto es entonces
Mathis, Stephen A .; Koscianski, Janet (2002). Teoría microeconómica: un enfoque integrado . Upper Saddle River: Prentice Hall. págs. 132-133. ISBN 0-13-011418-9.
Varian, Hal R. (1984). Análisis microeconómico (Segunda ed.). Nueva York: WW Norton. págs. 121-123. ISBN 0-393-95282-7.