El lema de Shephard es un resultado importante en la microeconomía que tiene aplicaciones en la teoría de la empresa y en la elección del consumidor . [1] El lema establece que si las curvas de indiferencia de la función de gasto o costo son convexas , entonces el punto de minimización de costos de un bien dado () con precio es único. La idea es que un consumidor compre una cantidad ideal única de cada artículo para minimizar el precio por obtener un cierto nivel de utilidad dado el precio de los bienes en el mercado .
El lema lleva el nombre de Ronald Shephard, quien dio una demostración usando la fórmula de la distancia en su libro Teoría de las funciones de costo y producción (Princeton University Press, 1953). El resultado equivalente en el contexto de la teoría del consumidor fue obtenido por primera vez por Lionel W. McKenzie en 1957. [2] Establece que las derivadas parciales de la función de gasto con respecto a los precios de los bienes son iguales a las funciones de demanda de Hicks para los bienes relevantes. John Hicks (1939) y Paul Samuelson (1947) ya habían obtenido resultados similares .
Definición
En la teoría del consumidor , el lema de Shephard establece que la demanda de un bien particular para un nivel dado de utilidad y precios dados , es igual a la derivada de la función de gasto con respecto al precio del bien relevante:
dónde es la demanda de Hicks para el bien, es la función de gasto , y ambas funciones están en términos de precios (un vector ) y utilidad .
Asimismo, en la teoría de la empresa , el lema da una formulación similar para la demanda de factor condicional para cada factor de entrada: la derivada de la función de costo con respecto al precio del factor:
dónde es el factor condicional demanda de insumos, es la función de costo, y ambas funciones están en términos de precios de los factores (un vector ) y salida .
Aunque la demostración original de Shephard usaba la fórmula de la distancia, las demostraciones modernas del lema de Shephard usan el teorema de la envolvente . [3]
Prueba del caso diferenciable
La prueba se establece para el caso de dos bienes para facilitar la notación. La función de gasto es la función de valor del problema de optimización restringida caracterizado por el siguiente Lagrangiano:
Por el teorema de la envolvente las derivadas de la función de valor con respecto al parámetro están:
dónde es el minimizador (es decir, la función de demanda de Hicks para el bien 1). Esto completa la prueba.
Solicitud
El lema de Shephard da una relación entre las funciones de gasto (o costo) y la demanda de Hicks. El lema se puede volver a expresar como la identidad de Roy , que da una relación entre una función de utilidad indirecta y una función de demanda marshalliana correspondiente .
Ver también
Referencias
- ^ Varian, Hal (1992). Análisis microeconómico (tercera ed.). Nueva York: Norton. págs. 74–75. ISBN 0-393-95735-7.
- ^ McKenzie, Lionel (1957). "Teoría de la demanda sin índice de utilidad". Revisión de estudios económicos . 24 (3): 185–189. JSTOR 2296067 .
- ^ Silberberg, Eugene (1978). La estructura de la economía . McGraw-Hill. págs. 199-200 . ISBN 0-07-057453-7.
Otras lecturas
- Beavis, Brian; Dobbs, Ian M. (1990). "Introducción a la teoría de la dualidad" . Teoría de la optimización y la estabilidad para el análisis económico . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 117-133. ISBN 0-521-33605-8.