La ecuación de Slutsky (o identidad de Slutsky ) en economía , llamada así por Eugen Slutsky , relaciona los cambios en la demanda marshalliana (no compensada) con los cambios en la demanda de Hicks (compensada) , que se conoce como tal, ya que compensa para mantener un nivel fijo de utilidad.
Hay dos partes de la ecuación de Slutsky, a saber, el efecto sustitución y el efecto renta .
En general, el efecto de sustitución puede ser negativo para los consumidores, ya que puede limitar las opciones. Diseñó esta fórmula para explorar la respuesta del consumidor a medida que cambia el precio. Cuando el precio aumenta, el conjunto presupuestario se mueve hacia adentro, lo que también hace que disminuya la cantidad demandada. Por el contrario, cuando el precio disminuye, el conjunto presupuestario se mueve hacia afuera, lo que conduce a un aumento en la cantidad demandada. El efecto sustitución se debe al efecto de la variación del precio relativo, mientras que el efecto renta se debe al efecto de la liberación de la renta. La ecuación demuestra que el cambio en la demanda de un bien, causado por un cambio de precio, es el resultado de dos efectos:
- un efecto de sustitución : cuando el precio de un bien cambia, a medida que se vuelve relativamente más barato, si hipotéticamente el consumo del consumidor permanece igual, se liberarían ingresos que podrían gastarse en una combinación de cada uno o más de los bienes.
- un efecto renta : el poder adquisitivo de un consumidor aumenta como resultado de una disminución de precios, por lo que el consumidor ahora puede permitirse mejores productos o más de los mismos productos, dependiendo de si el producto en sí es un bien normal o un bien inferior .
La ecuación de Slutsky descompone el cambio en la demanda del bien i en respuesta a un cambio en el precio del bien j :
dónde es la demanda de Hicks y es la demanda marshalliana, en el vector de niveles de precios , nivel de riqueza (o, alternativamente, nivel de ingresos) y nivel de utilidad fijo dada maximizando la utilidad al precio e ingreso originales, formalmente dada por la función de utilidad indirecta . El lado derecho de la ecuación es igual al cambio en la demanda del bien i manteniendo la utilidad fija en u menos la cantidad demandada del bien j , multiplicada por el cambio en la demanda del bien i cuando cambia la riqueza.
El primer término del lado derecho representa el efecto sustitución y el segundo término representa el efecto ingreso. [1] Tenga en cuenta que dado que la utilidad no es observable, el efecto de sustitución no es directamente observable, pero puede calcularse por referencia a los otros dos términos en la ecuación de Slutsky, que son observables. Este proceso a veces se conoce como la descomposición de Hicks de un cambio de demanda. [2]
La ecuación se puede reescribir en términos de elasticidad :
donde ε p es la elasticidad precio (no compensada) , ε p h es la elasticidad precio compensada, ε w, i la elasticidad ingreso del bien i , yb j la participación presupuestaria del bien j .
En general, en palabras simples, la ecuación de Slutsky establece que el cambio total en la demanda consiste en un efecto ingreso y un efecto sustitución y ambos efectos colectivamente deben ser iguales al cambio total en la demanda.
La ecuación anterior es útil, ya que representa la fluctuación de la demanda como indicativo de diferentes tipos de bienes. El efecto sustitución siempre resultará negativo ya que las curvas de indiferencia siempre tienen pendiente negativa. Sin embargo, no se aplica lo mismo al efecto renta, ya que depende de cómo cambia el consumo de un bien con la renta.
El efecto renta sobre un bien normal es negativo, y si el precio baja, el poder adquisitivo o la renta aumentan. Lo contrario ocurre cuando el precio aumenta y el poder adquisitivo o los ingresos disminuyen, como resultado, también lo hace la demanda.
Generalmente, no todos los productos son "normales". Aunque en un sentido económico, algunos son inferiores. Sin embargo, eso no equivale en términos de calidad a que sean pobres, sino que establece un perfil de ingresos negativo: a medida que aumentan los ingresos, el consumo del bien por parte de los consumidores disminuye.
Por ejemplo, los consumidores que se están quedando sin dinero para comprar comida compran fideos instantáneos; sin embargo, el producto generalmente no se considera algo que la gente normalmente consumiría a diario. Esto se debe a las limitaciones en términos de dinero; a medida que aumenta la riqueza, disminuye el consumo. En este caso, el efecto sustitución es negativo, pero el efecto renta también es negativo.
En todo caso el efecto sustitución o efecto renta son positivos o negativos cuando los precios aumentan depende del tipo de bienes:
Efecto total | Efecto de sustitución | Efecto renta | |
---|---|---|---|
+ | Buenos sustitutos | Buenos sustitutos | Bienes inferiores |
- | Bienes complementarios | Bienes complementarios | Bienes normales |
Sin embargo, es imposible saber si el efecto total siempre será negativo si se mencionan bienes complementarios inferiores. Por ejemplo, el efecto sustitución y el efecto renta van en direcciones opuestas. El efecto total dependerá de qué efecto sea finalmente más fuerte.
Derivación
Si bien hay varias formas de derivar la ecuación de Slutsky, el siguiente método es probablemente el más simple. Empiece por señalar la identidad dónde es la función de gasto y u es la utilidad obtenida maximizando la utilidad dados p y w . Diferenciando totalmente con respecto a p j se obtiene lo siguiente:
- .
Haciendo uso del hecho de que por el lema de Shephard y que en el óptimo,
- dónde es la función de utilidad indirecta ,
se puede sustituir y reescribir la derivación anterior como la ecuación de Slutsky.
Ejemplo
Una función de utilidad Cobb-Douglas (ver función de producción Cobb-Douglas ) con dos bienes e ingresos genera demanda marshalliana de los bienes 1 y 2 de y Reorganizar la ecuación de Slutsky para poner la derivada de Hicks en el lado izquierdo produce el efecto de sustitución:
Volviendo a la ecuación de Slutsky original, se muestra cómo se suman los efectos de sustitución e ingreso para dar el efecto total del aumento de precio sobre la cantidad demandada:
Así, del declive total de en cantidad demandada cuando aumenta, 21/70 es del efecto sustitución y 49/70 del efecto renta. El bien 1 es el bien en el que este consumidor gasta la mayor parte de sus ingresos (), por lo que el efecto renta es tan grande.
Se puede comprobar que la respuesta de la ecuación de Slutsky es la misma que la de diferenciar directamente la función de demanda de Hicks, que aquí es [3]
dónde es utilidad. La derivada es
así que dado que la función de utilidad indirecta Cobb-Douglas es y cuando el consumidor usa las funciones de demanda especificadas, la derivada es:
que es de hecho la respuesta de la ecuación de Slutsky.
La ecuación de Slutsky también se puede aplicar para calcular el efecto de sustitución de precio cruzado. Uno podría pensar que aquí era cero porque cuando aumenta, la cantidad marshalliana demandada del bien 1, no se ve afectado), pero eso está mal. Nuevamente reordenando la ecuación de Slutsky, el efecto de sustitución de precio cruzado es:
Esto dice que cuando sube, hay un efecto de sustitución de hacia el bien 1. Al mismo tiempo, el aumento de tiene un efecto ingreso negativo sobre la demanda del bien 1, un efecto opuesto del mismo tamaño exacto que el efecto sustitución, por lo que el efecto neto es cero. Ésta es una propiedad especial de la función Cobb-Douglas.
Cambios en varios precios a la vez: la matriz Slutsky
La misma ecuación se puede reescribir en forma de matriz para permitir múltiples cambios de precio a la vez:
donde D p es el operador derivado con respecto al precio y D w es el operador derivado con respecto a la riqueza.
La matriz se conoce como la matriz de Slutsky , y dadas suficientes condiciones de suavidad en la función de utilidad, es simétrica, semidefinida negativa y el hessiano de la función de gasto.
Cuando hay dos bienes, la ecuación de Slutsky en forma de matriz es: [4]
Aunque estrictamente hablando, la ecuación de Slutsky solo se aplica a cambios infinitesimales en los precios, se usa de manera estándar como una aproximación lineal para cambios finitos. Si los precios de los dos bienes cambian en y , el efecto sobre las demandas de los dos bienes es:
Multiplicando las matrices, el efecto sobre el bien 1, por ejemplo, sería
El primer término es el efecto sustitución. El segundo término es el efecto ingreso, compuesto por la respuesta del consumidor a la pérdida de ingresos multiplicada por el tamaño de la pérdida de ingresos por el aumento de cada precio.
Productos Giffen
Un bien Giffen es un producto que tiene una mayor demanda cuando aumenta el precio, que también son casos especiales de bienes inferiores. [5] En el caso extremo de inferioridad del ingreso, el tamaño del efecto ingreso superó al tamaño del efecto sustitución, lo que llevó a un cambio general positivo en la demanda en respuesta a un aumento en el precio. La descomposición de Slutsky del cambio en la demanda en un efecto de sustitución puro y un efecto ingreso explica por qué la ley de la demanda no es válida para los bienes de Giffen.
Ver también
- Elección del consumidor
- Lema de Hotelling
- Función de demanda Hicksiana
- Función de demanda marshalliana
- Función de producción Cobb-Douglas
- Bienes Giffen
- Poder adquisitivo
- Bien normal
- Buenos sustitutos
- Bienes inferiores
- Bienes complementarios
Referencias
- ^ Nicholson, W. (2005). Teoría microeconómica (10ª ed.). Mason, Ohio: Educación Superior Thomson.
- ^ Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton.
- ^ Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton., pag. 121.
- ^ Varian, H. (1992). Análisis microeconómico (3ª ed.). Nueva York: WW Norton., págs. 120-121.
- ^ Varian, Hal R. "Capítulo 8: Ecuación de Slutsky". Ensayo. En Intermediate Microeconomics with Calculus, 1ª ed., 137. Nueva York, NY: WW Norton, 2014.
Referencias
Varian, HR (2020). Microeconomía intermedia: un enfoque moderno (Novena edición). WW Norton & Company.