Mapa exponencial (teoría de la mentira)
En la teoría de los grupos de Lie , el mapa exponencial es un mapa del álgebra de Lie de un grupo de Lie al grupo que permite recuperar la estructura del grupo local del álgebra de Lie. La existencia del mapa exponencial es una de las principales razones por las que las álgebras de Lie son una herramienta útil para estudiar los grupos de Lie.
La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial del mapa exponencial cuando es el grupo multiplicativo de números reales positivos (cuya álgebra de Lie es el grupo aditivo de todos los números reales). El mapa exponencial de un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria, sin embargo, también difiere en muchos aspectos importantes.
Sea un grupo de Lie y sea su álgebra de Lie (pensada como el espacio tangente al elemento identidad de ). El mapa exponencial es un mapa
De la regla de la cadena se sigue fácilmente que . El mapa se puede construir como la curva integral del campo vectorial invariante a la derecha o a la izquierda asociado con . Que la curva integral existe para todos los parámetros reales se sigue de la traducción a la derecha oa la izquierda de la solución cerca de cero.
Tenemos una definición más concreta en el caso de un grupo de Lie matricial . El mapa exponencial coincide con la matriz exponencial y viene dado por el desarrollo de la serie ordinaria:
donde es la matriz identidad . Así, en el establecimiento de matrices de grupos de Lie, el mapa exponencial es la restricción de la matriz exponencial al álgebra de Lie de .
