Funcion exponencial

La función exponencial es una función matemática denotada por o (donde el argumento x se escribe como un exponente ). A menos que se especifique lo contrario, el término generalmente se refiere a la función de valor positivo de una variable real, aunque puede extenderse a los números complejos o generalizarse a otros objetos matemáticos como matrices o álgebras de Lie. La función exponencial se originó a partir de la noción de exponenciación (multiplicación repetida), pero las definiciones modernas (existen varias caracterizaciones equivalentes ) permiten extenderla rigurosamente a todos los argumentos reales, incluidos los números irracionales. Su ocurrencia ubicua en puro${\ estilo de visualización f (x) = \ exp (x)}$${\ estilo de visualización e ^ {x}}$y las matemáticas aplicadas llevaron al matemático Walter Rudin a opinar que la función exponencial es "la función más importante de las matemáticas". ^[1]

Mientras que otras funciones continuas distintas de cero que satisfacen la identidad de exponenciación también se conocen como funciones exponenciales , la función exponencial exp es la única función de valor real de una variable real cuya derivada es ella misma y cuyo valor en 0 es 1 ; es decir, para todo real x , y Por lo tanto, exp a veces se llama la función exponencial natural para distinguirla de estas otras funciones exponenciales, que son las funciones de la forma donde la base b es un número real positivo . La relación para b positiva y real o${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización \ exp '(x) = \ exp (x)}$${\ estilo de visualización \ exp (0) = 1.}$${\ estilo de visualización f (x) = ab ^ {x},}$${\ estilo de visualización b ^ {x} = e ^ {x \ ln b}}$el complejo x establece una fuerte relación entre estas funciones, lo que explica esta terminología ambigua.

La función exponencial real también se puede definir como una serie de potencias. Esta definición de serie de potencias se extiende fácilmente a argumentos complejos para permitir que se defina la función exponencial compleja . La función exponencial compleja toma todos los valores complejos excepto 0 y está estrechamente relacionada con las funciones trigonométricas complejas , como lo muestra la fórmula de Euler . ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

Motivado por propiedades y caracterizaciones más abstractas de la función exponencial, el exponencial se puede generalizar y definir para tipos completamente diferentes de objetos matemáticos (por ejemplo, una matriz cuadrada o un álgebra de Lie ).

Funciones exponenciales con bases 2 y 1/2

La función exponencial (en azul), y la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de potencias (en rojo).

La curva roja es la función exponencial. Las líneas horizontales negras muestran dónde se cruzan las líneas verticales verdes.

La derivada de la función exponencial es igual al valor de la función. Desde cualquier punto P en la curva (azul), dibuje una línea tangente (roja) y una línea vertical (verde) con altura h , formando un triángulo rectángulo con una base b en el eje x . Dado que la pendiente de la recta tangente roja (la derivada) en P es igual a la razón de la altura del triángulo a la base del triángulo (elevación sobre el recorrido), y la derivada es igual al valor de la función, h debe ser igual a la razón de h a b . Por lo tanto, la base b siempre debe ser 1.

Una trama compleja de , con el argumento representado por un matiz variable. La transición de colores oscuros a claros muestra que aumenta solo hacia la derecha. Las bandas horizontales periódicas correspondientes a la misma tonalidad indican que es periódica en la parte imaginaria de .${\displaystyle z\mapsto\exp z}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Arg} \ exp z}$${\ estilo de visualización \ izquierda | \ exp z \ derecha |}$${\displaystyle z\mapsto\exp z}$${\ estilo de visualización z}$