En matemáticas , la función exponencial se puede caracterizar de muchas formas. Las siguientes caracterizaciones (definiciones) son las más comunes. Este artículo analiza por qué cada caracterización tiene sentido y por qué las caracterizaciones son independientes y equivalentes entre sí. Como caso especial de estas consideraciones, se demostrará que las tres definiciones más comunes dadas para la constante matemática e son equivalentes entre sí.
Caracterizaciones
Las seis definiciones más comunes de la función exponencial exp ( x ) = e x para x real son:
- 1. Defina e x por el límite
- 2. Defina e x como el valor de la serie infinita
- (Aquí n ! Denota el factorial de n . Una prueba de que e es irracional usa esta representación).
- 3. Defina e x como el número único y > 0 tal que
- Esto es como el inverso de la función logaritmo natural , que está definida por esta integral.
- 4. Defina e x como la única solución al problema del valor inicial.
- (Aquí, y ′ denota la derivada de y .)
- 5. La función exponencial e x es la función única f con f (1) = e y f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) para todo x e y que satisfaga cualquiera de las siguientes condiciones adicionales:
- f es medible en Lebesgue (Hewitt y Stromberg, 1965, ejercicio 18.46).
- f es continua en al menos un punto (Rudin, 1976, capítulo 8, ejercicio 6). (Como se muestra más abajo, si f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) para todo x y y , y f es continua en cualquier punto único, entonces f es necesariamente continuo en todas partes .)
- f está aumentando . (Una función creciente que está de acuerdo con e x en números racionales debe ser igual a e x .)
- Para la unicidad, se debe imponer alguna condición adicional como las anteriores, ya que de lo contrario se pueden construir otras funciones usando una base para los números reales sobre los racionales , como lo describen Hewitt y Stromberg.
- También se podría reemplazar f (1) = e y la "condición adicional" con la condición única f ′ (0) = 1 .
- 6. Sea e el único número real positivo que satisface
- Se puede demostrar que este límite existe. Luego defina e x como la función exponencial con esta base. Esta definición es particularmente adecuada para calcular la derivada de la función exponencial.
Dominios más grandes
Una forma de definir la función exponencial para dominios más grandes que el dominio de números reales es definirla primero para el dominio de números reales usando una de las caracterizaciones anteriores y luego extenderla a dominios más grandes de una manera que funcionaría para cualquier función analítica. .
También es posible utilizar las caracterizaciones directamente para el dominio más amplio, aunque pueden surgir algunos problemas. (1), (2) y (4) tienen sentido para álgebras de Banach arbitrarias . (3) presenta un problema para los números complejos, porque hay caminos no equivalentes a lo largo de los cuales uno podría integrarse, y (5) no es suficiente. Por ejemplo, la función f definida (para x y y real) como
satisface las condiciones en (5) sin ser la función exponencial de x + iy . Para que (5) sea suficiente para el dominio de números complejos, se puede estipular que existe un punto en el que f es un mapa conforme o bien estipular que
En particular, la condición alternativa en (5) que es suficiente ya que estipula implícitamente que f sea conforme.
Prueba de que cada caracterización tiene sentido
Algunas de estas definiciones requieren una justificación para demostrar que están bien definidas . Por ejemplo, cuando el valor de la función se define como el resultado de un proceso limitante (es decir, una secuencia o serie infinita ), debe demostrarse que ese límite siempre existe.
Caracterización 2
Desde
De la prueba de razón se deduce queconverge para todo x .
Caracterización 3
Dado que el integrando es una función integrable de t , la expresión integral está bien definida. Debe demostrarse que la función de a definido por
es una biyección . Dado que 1 / t es positivo para t positivo , esta función es estrictamente creciente , por lo tanto inyectiva . Si las dos integrales
mantener, entonces también es sobreyectiva . De hecho, estas integrales hacen bodega; se siguen de la prueba integral y la divergencia de la serie armónica .
Equivalencia de las caracterizaciones
La siguiente prueba demuestra la equivalencia de las tres primeras caracterizaciones dadas para e arriba. La prueba consta de dos partes. Primero, se establece la equivalencia de las caracterizaciones 1 y 2, y luego se establece la equivalencia de las caracterizaciones 1 y 3. También se dan argumentos que vinculan las otras caracterizaciones.
Equivalencia de caracterizaciones 1 y 2
El siguiente argumento está adaptado de una demostración de Rudin, teorema 3.31, p. 63–65.
Dejar ser un número real fijo no negativo. Definir
(usando x ≥ 0 para obtener la desigualdad final) de modo que
donde e x es en el sentido de la definición 2. Aquí, se debe usar limsups , porque no se sabe si t n converge . Para la otra dirección, por la expresión anterior de t n , si 2 ≤ m ≤ n ,
Fije my deje que n se acerque al infinito. Luego
(de nuevo, se deben usar liminf porque no se sabe si t n converge). Ahora, tomando la desigualdad anterior, dejando que m se acerque al infinito y poniéndola junto con la otra desigualdad, esto se convierte en
así que eso
Esta equivalencia se puede extender a los números reales negativos señalando y tomando el límite cuando n va al infinito.
El término de error de esta expresión-límite se describe mediante
donde el grado del polinomio (en x ) en el término con denominador n k es 2 k .
Equivalencia de caracterizaciones 1 y 3
Aquí, la función de logaritmo natural se define en términos de una integral definida como arriba. Por la primera parte del teorema fundamental del cálculo ,
Además,
Ahora, sea x cualquier número real fijo y sea
Ln ( y ) = x , lo que implica que y = e x , donde e x es en el sentido de la definición 3. Tenemos
Aquí, se utiliza la continuidad de ln ( y ), que se sigue de la continuidad de 1 / t :
Aquí, se ha utilizado el resultado ln a n = n ln a . Este resultado se puede establecer para n un número natural por inducción o usando integración por sustitución. (La extensión a poderes reales debe esperar hasta que ln y exp se hayan establecido como inversos entre sí, de modo que a b pueda definirse para b real como e b ln a ).
Equivalencia de caracterizaciones 3 y 4
La caracterización 3 implica definir el logaritmo natural antes de definir la función exponencial. Primero,
Esto significa que el logaritmo natural de es igual al área (con signo) debajo de la gráfica de Entre y . Si, entonces esta área se considera negativa. Luego, se define como el inverso de , significa que
por la definición de una función inversa. Si es un número real positivo entonces Se define como . Finalmente, se define como el número tal que . Entonces se puede demostrar que:
Según el teorema fundamental del cálculo , la derivada de. Ahora estamos en condiciones de demostrar que, satisfaciendo la primera parte del problema de valor inicial dado en la caracterización 4:
Entonces, simplemente tenemos que señalar que y hemos terminado. Por supuesto, es mucho más fácil mostrar que la caracterización 4 implica la caracterización 3. Si es la función única satisfactorio , y , luego se puede definir como su inverso. La derivada de se puede encontrar de la siguiente manera:
Si diferenciamos ambos lados con respecto a , obtenemos
Por lo tanto,
Equivalencia de caracterizaciones 2 y 4
Sea n un número entero no negativo. En el sentido de la definición 4 y por inducción,.
Por lo tanto
Usando la serie de Taylor , Esto muestra que la definición 4 implica la definición 2.
En el sentido de la definición 2,
Además, Esto muestra que la definición 2 implica la definición 4.
Equivalencia de caracterizaciones 1 y 5
La siguiente demostración es una versión simplificada de la de Hewitt y Stromberg, ejercicio 18.46. Primero, se prueba que la mensurabilidad (o aquí, la integrabilidad de Lebesgue) implica continuidad para una función distinta de cero satisfactorio , y luego se demuestra que la continuidad implica para algunos k , y finalmenteimplica k = 1.
Primero, algunas propiedades elementales de satisfactorio están probados, y la suposición de que no es idénticamente cero:
- Si es distinto de cero en cualquier lugar (digamos en x = y ), entonces es distinto de cero en cualquier lugar. Prueba: implica .
- . Prueba: y no es cero.
- . Prueba:.
- Si es continua en cualquier lugar (digamos en x = y ), entonces es continua en todas partes. Prueba: como por continuidad en y .
La segunda y tercera propiedades significan que es suficiente para demostrar para x positivo .
Si es una función integrable de Lebesgue , entonces
Luego se sigue que
Desde es distinto de cero, se puede elegir alguna y de manera que y resolver para en la expresión anterior. Por lo tanto:
La expresión final debe ir a cero como desde y es continuo. Resulta que es continuo.
Ahora, puede demostrarse, para algunos k , para todos los números racionales positivos q . Sea q = n / m para enteros positivos n y m . Luego
por inducción elemental en n . Por lo tanto, y por lo tanto
por . Si se limita a valores reales, luego es positivo en todas partes y, por tanto, k es real.
Finalmente, por continuidad, ya que para todo x racional , debe ser cierto para todo x real, ya que el cierre de los racionales son los reales (es decir, cualquier x real puede escribirse como el límite de una secuencia de racionales). Sientonces k = 1. Esto es equivalente a la caracterización 1 (o 2, o 3), dependiendo de qué definición equivalente de e se use.
La caracterización 2 implica la caracterización 6
En el sentido de la definición 2, [1]
La caracterización 5 implica la caracterización 4
- Las condiciones f ' (0) = 1 y f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) implican ambas condiciones en la caracterización 4. De hecho, se obtiene la condición inicial f (0) = 1 dividiendo ambos lados de la ecuacion
- por f (0) , y la condición de que f ′ ( x ) = f ( x ) se sigue de la condición de que f ′ (0) = 1 y la definición de la derivada como sigue:
La caracterización 6 implica la caracterización 4
En el sentido de la definición 6, Por cierto , por lo tanto, la definición 6 implica la definición 4.
Referencias
- Walter Rudin , Principios de análisis matemático , 3ª edición (McGraw-Hill, 1976), capítulo 8.
- Edwin Hewitt y Karl Stromberg, Análisis real y abstracto (Springer, 1965).