En matemáticas , la secuencia de gavillas exponencial es una secuencia exacta corta fundamental de gavillas que se utiliza en geometría compleja .
Deje que M sea un colector complejo , y escribir O M para la gavilla de funciones holomorfas en M . Sea O M * la subhecha que consta de las funciones holomórficas que no desaparecen. Ambas son gavillas de grupos abelianos . La función exponencial da un homomorfismo de gavilla.
porque para una función holomórfica f , exp ( f ) es una función holomórfica que no desaparece, y exp ( f + g ) = exp ( f ) exp ( g ). Su núcleo es el haz 2π i Z de funciones localmente constantes en M tomando los valores 2π in , con n un número entero . La secuencia exponencial de la gavilla es por tanto
El mapeo exponencial aquí no siempre es un mapa sobreyectivo en secciones; esto se puede ver, por ejemplo, cuando M es un disco perforado en el plano complejo. El mapa exponencial es sobreyectiva en los tallos : Dado un germen g de una función holomorfa en un punto P de tal manera que g ( P ) ≠ 0, se puede tomar el logaritmo de g en un barrio de P . La larga secuencia exacta de la cohomología de la gavilla muestra que tenemos una secuencia exacta
para cualquier conjunto abierto U de M . Aquí H 0 significa simplemente las secciones de más de U , y la gavilla cohomología H 1 (2π i Z | U ) es la cohomología singular de U .
Uno puede pensar en H 1 (2π i Z | U ) como la asociación de un número entero para cada bucle en U . Para cada sección de O M *, el homomorfismo de conexión a H 1 (2π i Z | U ) da el número de bobinado para cada bucle. Entonces, este homomorfismo es, por lo tanto, un número de bobinado generalizado y mide la falla de U para ser contractible . En otras palabras, existe una obstrucción topológica potencial para tomar un logaritmo global de una función holomórfica que no desaparece, algo que siempre es localmente posible.
Una consecuencia adicional de la secuencia es la exactitud de
Aquí H 1 ( O M *) puede ser identificado con el grupo de Picard de línea paquetes holomorfas sobre M . El homomorfismo de conexión envía un paquete de líneas a su primera clase Chern .
Referencias
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523, ver especialmente p. 37 y p. 139