En matemáticas , una función f de un espacio topológico A a un conjunto B se llama localmente constante si para cada una de A existe una vecindad U de un tal que f es constante en U .
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Cada función constante es localmente constante.
Cada función localmente constante desde el números reales R con R es constante, por la conexión de R . Pero la función f de los racionales Q a R , definida por f ( x ) = 0 para x < π , yf ( x ) = 1 para x > π, es localmente constante (aquí usamos el hecho de que π es irracional y que por lo tanto los dos conjuntos { x ∈ Q : x <π} y { x ∈ Q : x > π} están ambos abiertos en Q ).
Si f : A → B es localmente constante, entonces es constante en cualquier componente conectado de A . Lo contrario es cierto para los espacios conectados localmente (donde los componentes conectados están abiertos).
Otros ejemplos incluyen los siguientes:
- Dado un mapa de cobertura p : C → X , entonces a cada punto x de X podemos asignar la cardinalidad de la fibra p −1 ( x ) sobre x ; esta asignación es localmente constante.
- Un mapa de un espacio topológico A a un espacio discreto B es continuo si y solo si es localmente constante.
Conexión con la teoría de la gavilla
Hay gavillas de funciones localmente constantes en X . Para ser más definido, las funciones de valor entero localmente constantes en X forman un haz en el sentido de que para cada conjunto abierto U de X podemos formar las funciones de este tipo; y luego verificar que los axiomas de la gavilla son válidos para esta construcción, dándonos una gavilla de grupos abelianos (incluso anillos conmutativos ). Esta gavilla podría escribirse Z X ; descrito por medio de tallos tenemos tallo Z x , una copia de Z en x , para cada x en X . Esto se puede referir a un haz constante , es decir, exactamente un haz de funciones localmente constantes que toman sus valores en el (mismo) grupo. La gavilla típica, por supuesto, no es constante de esta manera; pero la construcción es útil para vincular la cohomología de las gavillas con la teoría de la homología y en las aplicaciones lógicas de las gavillas. La idea del sistema de coeficientes locales es que podemos tener una teoría de las poleas que localmente se parecen a esas poleas "inofensivas" (cerca de cualquier x ), pero desde un punto de vista global exhiben algunas "torsiones".