Esfera de Riemann

En matemáticas , la esfera de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann , ^[1] es un modelo del plano complejo extendido , el plano complejo más un punto en el infinito . Este plano extendido representa los números complejos extendidos , es decir, los números complejos más un valor ∞ para infinito . Con el modelo de Riemann, el punto "∞" está cerca de números muy grandes, al igual que el punto "0" está cerca de números muy pequeños.

Los números complejos extendidos son útiles en el análisis complejo porque permiten la división por cero en algunas circunstancias, de una manera que hace que expresiones como se comporten bien . Por ejemplo, cualquier función racional en el plano complejo puede extenderse a una función holomórfica en la esfera de Riemann, con los polos de la función racional mapeando al infinito. De manera más general, cualquier función meromórfica se puede considerar como una función holomórfica cuyo codominio es la esfera de Riemann.${\ displaystyle {\ tfrac {1} {0}} = \ infty}$

En geometría , la esfera de Riemann es el ejemplo prototípico de una superficie de Riemann y es una de las variedades complejas más simples . En geometría proyectiva , la esfera puede considerarse como la línea proyectiva compleja P ¹ ( C ), el espacio proyectivo de todas las líneas complejas en C ² . Al igual que con cualquier superficie compacta de Riemann, la esfera también puede verse como una curva algebraica proyectiva , lo que la convierte en un ejemplo fundamental en geometría algebraica.. También encuentra utilidad en otras disciplinas que dependen del análisis y la geometría, como la esfera de Bloch de la mecánica cuántica y en otras ramas de la física .

Los números complejos extendidos constan de los números complejos C junto con ∞. El conjunto de números complejos extendidos puede escribirse como C ∪ {∞}, y a menudo se denota agregando algo de decoración a la letra C , como

La notación también se ha utilizado, pero como esta notación también se usa para el plano perforado , puede generar ambigüedad. ^[2]${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {*}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {0 \}}$

Geométricamente, el conjunto de números complejos extendidos se conoce como la esfera de Riemann (o plano complejo extendido ).

La esfera de Riemann se puede visualizar como el plano numérico complejo envuelto alrededor de una esfera (mediante alguna forma de proyección estereográfica ; los detalles se dan a continuación).

Proyección estereográfica de un número complejo A sobre un punto α de la esfera de Riemann

Una transformación de Möbius que actúa sobre la esfera y sobre el plano por proyección estereográfica.