En matemáticas , los functores Ext son los functores derivados del functor Hom . Junto con el functor Tor , Ext es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en el que las ideas de la topología algebraica se utilizan para definir invariantes de estructuras algebraicas. La cohomología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas se pueden definir en términos de Ext. El nombre proviene del hecho de que el primer grupo Ext Ext 1 clasifica las extensiones de un módulo por otro.
En el caso especial de los grupos abelianos , Ext fue introducido por Reinhold Baer (1934). Fue nombrado por Samuel Eilenberg y Saunders MacLane (1942) y aplicado a la topología (el teorema del coeficiente universal para la cohomología ). Para módulos sobre cualquier anillo , Henri Cartan y Eilenberg definieron Ext en su libro Homological Algebra de 1956 . [1]
Deje que R sea un anillo y dejar que R -Mod sea la categoría de módulos de más de R . (Se puede considerar que esto significa módulos R izquierdos o módulos R derechos). Para un módulo R fijo A , sea T ( B ) = Hom R ( A , B ) para B en R -Mod. (Aquí Hom R ( A , B ) es el grupo abeliano de R -mapas lineales de A a B ; este es un R-module si R es conmutativo .) Este es un funtor exacto izquierda de R -Mod a la categoría de los grupos abelianos Ab, y por lo que ha derecho derivado funtores R i T . Los grupos Ext son los grupos abelianos definidos por
Para cada entero i , Extyo
R( A , B ) es la cohomología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Por ejemplo, Ext0
R( A , B ) es el núcleo del mapa Hom R ( A , I 0 ) → Hom R ( A , I 1 ), que es isomorfo a Hom R ( A , B ).
Una definición alternativa usa el functor G ( A ) = Hom R ( A , B ), para un R -módulo B fijo . Este es un funtor contravariante , que puede verse como un funtor exacto izquierdo de la categoría opuesta ( R -Mod) op a Ab. Los grupos Ext se definen como los functores derivados de la derecha R i G :
Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva o inyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Ext. [2] Además, para un anillo fijo R , Ext es un funtor en cada variable (contravariante en A , covariante en B ).