En matemáticas , el producto tensorial de módulos es una construcción que permite que los argumentos sobre mapas bilineales (por ejemplo, la multiplicación) se lleven a cabo en términos de mapas lineales . La construcción del módulo es análoga a la construcción del producto tensorial de espacios vectoriales , pero puede llevarse a cabo para un par de módulos sobre un anillo conmutativo que da como resultado un tercer módulo, y también para un par de un módulo derecho y un módulo izquierdo. módulo sobre cualquier anillo , resultando un grupo abeliano . Los productos tensoriales son importantes en áreas de álgebra abstracta , álgebra homológica, topología algebraica , geometría algebraica , álgebras de operadores y geometría no conmutativa . La propiedad universal del producto tensorial de espacios vectoriales se extiende a situaciones más generales en álgebra abstracta. Permite el estudio de operaciones bilineales o multilineales mediante operaciones lineales . El producto tensorial de un álgebra y un módulo se puede utilizar para la extensión de escalares . Para un anillo conmutativo, el producto tensorial de los módulos se puede iterar para formar el álgebra tensorial de un módulo, lo que permite definir la multiplicación en el módulo de forma universal.
Para un anillo R , un R -módulo derecho M , un R -módulo N izquierdo y un grupo abeliano G , se dice que un mapa φ : M × N → G es R -balanceado , R -medio lineal o un R -producto balanceado si para todo m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R se cumple lo siguiente: [1]: 126
Si φ , ψ son productos balanceados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y − φ definidas puntualmente es un producto balanceado. Esto convierte al conjunto L R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.
Para M y N fijos, la función G ↦ L R ( M , N ; G ) es un funtor de la categoría de grupos abelianos a sí mismo. La parte del morfismo viene dada por el mapeo de un homomorfismo de grupo g : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L R ( M , N ; G ) a L R ( M, N ; G ') .
Como todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única hasta un isomorfismo único: cualquier otro grupo abeliano y producto balanceado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ R N y ⊗. De hecho, el mapeo ⊗ se llama canónico , o más explícitamente: el mapeo canónico (o producto balanceado) del producto tensorial. [3]
El producto tensorial también se puede definir como un objeto que representa el funtor G → L R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que hay un isomorfismo natural :