En una variedad diferenciable , la derivada exterior extiende el concepto de diferencial de una función a formas diferenciales de grado superior. El derivado exterior fue descrito primero en su forma actual por Élie Cartan en 1899. Además, permite una generalización natural, métrica-independiente de teorema de Stokes , el teorema de Gauss , y el teorema de Green de cálculo vectorial.
Si un diferencial k -form se considera como la medición de la flujo a través de un infinitesimal k - paralelotopo en cada punto del colector, a continuación, su derivado exterior puede ser pensado como la medida del flujo neto a través de la frontera de una ( k + 1) - paralelootopo en cada punto.
Definición
La derivada exterior de una forma diferencial de grado k (también forma k diferencial , o simplemente forma k para abreviar aquí) es una forma diferencial de grado k + 1 .
Si f es una función suave (una forma 0 ), entonces la derivada exterior de f es la diferencial de f . Es decir, df es el único 1 -forma tal que para cada lisa campo vectorial X , df ( X ) = d X f , donde d X f es la derivada direccional de f en la dirección de X .
El producto exterior de formas diferenciales (denotado con el mismo símbolo ∧ ) se define como su producto exterior puntiagudo .
Hay una variedad de definiciones equivalentes de la derivada exterior de una forma k general .
En términos de axiomas
La derivada exterior se define como el mapeo lineal ℝ único de formas k a formas ( k + 1) que tiene las siguientes propiedades:
- df es el diferencial de f para un 0 -form f .
- d ( df ) = 0 para un 0 -form f .
- d ( α ∧ β ) = dα ∧ β + (−1) p ( α ∧ dβ ) donde α es unaforma p . Es decir, d es una antiderivación de grado 1 en el álgebra exterior de formas diferenciales.
La segunda propiedad definitoria es más generalizada: d ( dα ) = 0 para cualquier forma k α ; más sucintamente, d 2 = 0 . La tercera propiedad definitoria implica como un caso especial que si f es una función y α a es una forma k , entonces d ( fα ) = d ( f ∧ α ) = df ∧ α + f ∧ dα porque una función es un 0 - forma, y la multiplicación escalar y el producto exterior son equivalentes cuando uno de los argumentos es un escalar.
En términos de coordenadas locales
Alternativamente, se puede trabajar completamente en un sistema de coordenadas local ( x 1 , ..., x n ) . Las diferenciales de coordenadas dx 1 , ..., dx n forman una base del espacio de formas uniformes, cada una asociada con una coordenada. Dado un índice múltiple I = ( i 1 , ..., i k ) con 1 ≤ i p ≤ n para 1 ≤ p ≤ k (y denota dx i 1 ∧ ... ∧ dx i k con un abuso de notación dx I ), la derivada exterior de una forma k (simple)
sobre ℝ n se define como
(usando la convención de suma de Einstein ). La definición de la derivada exterior se extiende linealmente a una forma k general
donde cada uno de los componentes del índice de multi- me corro sobre todos los valores en {1, ..., n } . Tenga en cuenta que siempre que i es igual a uno de los componentes del índice múltiple I, entonces dx i ∧ dx I = 0 (ver Producto exterior ).
La definición de la derivada exterior en coordenadas locales se deriva de la definición anterior en términos de axiomas . De hecho, con la k -form φ como se define anteriormente,
Aquí, hemos interpretado g como una forma 0 y luego aplicamos las propiedades de la derivada exterior.
Este resultado se extiende directamente a la forma k general ω como
En particular, para un 1 -forma ω , los componentes de dω en coordenadas locales son
Precaución : hay dos convenciones con respecto al significado de. La mayoría de los autores actuales [ cita requerida ] tienen la convención de que
mientras que en textos más antiguos como Kobayashi y Nomizu o Helgason
En términos de fórmula invariante
Alternativamente, una fórmula explícita se puede dar [ citación necesaria ] para el derivado exterior de un k -form ω , cuando se combina con k 1 + arbitrarias lisas campos de vectores V 0 , V 1 , ..., V k :
donde [ V i , V j ] denota el corchete de Lie [ se necesita más explicación ] y un sombrero denota la omisión de ese elemento:
En particular, cuando ω es una forma 1 , tenemos que dω ( X , Y ) = d X ( ω ( Y )) - d Y ( ω ( X )) - ω ([ X , Y ]) .
Nota: Con las convenciones de, por ejemplo, Kobayashi – Nomizu y Helgason, la fórmula difiere en un factor de1/k + 1:
Ejemplos de
Ejemplo 1. Considere σ = u dx 1 ∧ dx 2 sobre una base de 1 forma dx 1 , ..., dx n para un campo escalar u . La derivada exterior es:
La última fórmula se deriva fácilmente de las propiedades del producto exterior . Es decir, dx i ∧ dx i = 0 .
Ejemplo 2. Sea σ = u dx + v dy una forma 1 definida sobre ℝ 2 . Al aplicar la fórmula anterior a cada término (considere x 1 = x y x 2 = y ) tenemos la siguiente suma,
Teorema de Stokes sobre variedades
Si M es una variedad n dimensional compacta, suave y orientable con límite, y ω es una forma ( n - 1) en M , entonces la forma generalizada del teorema de Stokes establece que:
Intuitivamente, si se piensa en M como siendo dividido en regiones infinitesimales, y se añade el flujo a través de los límites de todas las regiones, los límites interiores de todo anulan, dejando el flujo total a través del límite de M .
Otras propiedades
Formas cerradas y exactas
A k -form ω se llama cerrada si dω = 0 ; las formas cerradas son el núcleo de d . ω se llama exacta si ω = dα por alguna ( k - 1) -forma α ; las formas exactas son la imagen de d . Como d 2 = 0 , todas las formas exactas están cerradas. El lema de Poincaré establece que en una región contráctil ocurre lo contrario.
de Rham cohomology
Because the exterior derivative d has the property that d2 = 0, it can be used as the differential (coboundary) to define de Rham cohomology on a manifold. The k-th de Rham cohomology (group) is the vector space of closed k-forms modulo the exact k-forms; as noted in the previous section, the Poincaré lemma states that these vector spaces are trivial for a contractible region, for k > 0. For smooth manifolds, integration of forms gives a natural homomorphism from the de Rham cohomology to the singular cohomology over ℝ. The theorem of de Rham shows that this map is actually an isomorphism, a far-reaching generalization of the Poincaré lemma. As suggested by the generalized Stokes' theorem, the exterior derivative is the "dual" of the boundary map on singular simplices.
Naturality
The exterior derivative is natural in the technical sense: if f : M → N is a smooth map and Ωk is the contravariant smooth functor that assigns to each manifold the space of k-forms on the manifold, then the following diagram commutes
so d( f∗ω) = f∗dω, where f∗ denotes the pullback of f . This follows from that f∗ω(·), by definition, is ω( f∗(·)), f∗ being the pushforward of f . Thus d is a natural transformation from Ωk to Ωk+1.
Derivada exterior en cálculo vectorial
Most vector calculus operators are special cases of, or have close relationships to, the notion of exterior differentiation.
Gradient
A smooth function f : M → ℝ on a real differentiable manifold M is a 0-form. The exterior derivative of this 0-form is the 1-form df.
When an inner product ⟨·,·⟩ is defined, the gradient ∇f of a function f is defined as the unique vector in V such that its inner product with any element of V is the directional derivative of f along the vector, that is such that
That is,
where ♯ denotes the musical isomorphism ♯ : V∗ → V mentioned earlier that is induced by the inner product.
The 1-form df is a section of the cotangent bundle, that gives a local linear approximation to f in the cotangent space at each point.
Divergence
A vector field V = (v1, v2, ... vn) on ℝn has a corresponding (n − 1)-form
where denotes the omission of that element.
(For instance, when n = 3, i.e. in three-dimensional space, the 2-form ωV is locally the scalar triple product with V.) The integral of ωV over a hypersurface is the flux of V over that hypersurface.
The exterior derivative of this (n − 1)-form is the n-form
Curl
A vector field V on ℝn also has a corresponding 1-form
Locally, ηV is the dot product with V. The integral of ηV along a path is the work done against −V along that path.
When n = 3, in three-dimensional space, the exterior derivative of the 1-form ηV is the 2-form
Invariant formulations of operators in vector calculus
The standard vector calculus operators can be generalized for any pseudo-Riemannian manifold, and written in coordinate-free notation as follows:
where ⋆ is the Hodge star operator, ♭ and ♯ are the musical isomorphisms, f is a scalar field and F is a vector field.
Note that the expression for curl requires ♯ to act on ⋆d(F♭), which is a form of degree n − 2. A natural generalization of ♯ to k-forms of arbitrary degree allows this expression to make sense for any n.
Ver también
- Exterior covariant derivative
- de Rham complex
- Discrete exterior calculus
- Green's theorem
- Lie derivative
- Stokes' theorem
- Fractal derivative
Notas
Referencias
- Cartan, Élie (1899). "Sur certaines expressions différentielles et le problème de Pfaff". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 3 (in French). Paris: Gauthier-Villars. 16: 239–332. ISSN 0012-9593. JFM 30.0313.04. Retrieved 2 Feb 2016.
- Conlon, Lawrence (2001). Differentiable manifolds. Basel, Switzerland: Birkhäuser. p. 239. ISBN 0-8176-4134-3.
- Darling, R. W. R. (1994). Differential forms and connections. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 35. ISBN 0-521-46800-0.
- Flanders, Harley (1989). Differential forms with applications to the physical sciences. New York: Dover Publications. p. 20. ISBN 0-486-66169-5.
- Loomis, Lynn H.; Sternberg, Shlomo (1989). Advanced Calculus. Boston: Jones and Bartlett. pp. 304–473 (ch. 7–11). ISBN 0-486-66169-5.
- Ramanan, S. (2005). Global calculus. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. p. 54. ISBN 0-8218-3702-8.
- Spivak, Michael (1971). Calculus on Manifolds. Boulder, Colorado: Westview Press. ISBN 9780805390216.
- Warner, Frank W. (1983), Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Graduate Texts in Mathematics, 94, Springer, ISBN 0-387-90894-3
enlaces externos
- "The derivative isn't what you think it is". Aleph Zero. November 3, 2020 – via YouTube.