En teoría de probabilidad y estadística , la distribución F , también conocida como distribución F de Snedecor o distribución de Fisher-Snedecor (después de Ronald Fisher y George W. Snedecor ) es una distribución de probabilidad continua que surge con frecuencia como la distribución nula de un estadístico de prueba , más en particular en el análisis de la varianza (ANOVA) y otros F -pruebas . [2] [3] [4] [5]
Función de densidad de probabilidad | |||
Función de distribución acumulativa | |||
Parámetros | d 1 , d 2 > 0 grados de libertad | ||
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Apoyo | Si , de lo contrario | ||
CDF | |||
Significar | para d 2 > 2 | ||
Modo | para d 1 > 2 | ||
Diferencia | para d 2 > 4 | ||
Oblicuidad | para d 2 > 6 | ||
Ex. curtosis | ver texto | ||
Entropía | [1] | ||
MGF | no existe, momentos en bruto definidos en el texto y en [2] [3] | ||
CF | ver texto |
Definición
Si una variable aleatoria X tiene una distribución F con los parámetros d 1 y d 2 , escribimos X ~ F ( d 1 , d 2 ). Entonces la función de densidad de probabilidad (pdf) para X viene dada por
para x real > 0. Aquíes la función beta . En muchas aplicaciones, los parámetros d 1 y d 2 son números enteros positivos , pero la distribución está bien definida para valores reales positivos de estos parámetros.
La función de distribución acumulativa es
donde I es la función beta incompleta regularizada .
La expectativa, la varianza y otros detalles sobre la F ( d 1 , d 2 ) se dan en el recuadro lateral; para d 2 > 8, el exceso de curtosis es
El k -ésimo momento de una distribución F ( d 1 , d 2 ) existe y es finito solo cuando 2 k < d 2 y es igual a [6]
La distribución F es una parametrización particular de la distribución beta prima , que también se denomina distribución beta de segundo tipo.
La función característica se enumera incorrectamente en muchas referencias estándar (p. Ej., [3] ). La expresión correcta [7] es
donde U ( a , b , z ) es la función hipergeométrica confluente del segundo tipo.
Caracterización
Una variante aleatoria de la distribución F con parámetros y surge como la razón de dos variables chi-cuadrado escaladas apropiadamente : [8]
dónde
- y tienen distribuciones chi-cuadrado con y grados de libertad respectivamente, y
- y son independientes .
En los casos en que se utiliza la distribución F , por ejemplo en el análisis de varianza , la independencia de y podría demostrarse aplicando el teorema de Cochran .
De manera equivalente, la variable aleatoria de la distribución F también se puede escribir
dónde y , es la suma de los cuadrados de variables aleatorias de distribución normal y es la suma de los cuadrados de variables aleatorias de distribución normal . [ discutir ] [ cita requerida ]
En un contexto frecuentista , una distribución F escalada da la probabilidad, con la distribución F en sí, sin ninguna escala, aplicando donde se toma igual a . Este es el contexto en el que la distribución F aparece más generalmente en las pruebas F : donde la hipótesis nula es que dos varianzas normales independientes son iguales, y luego se examinan las sumas observadas de algunos cuadrados seleccionados apropiadamente para ver si su razón es significativamente incompatible con esta hipótesis nula.
La cantidad tiene la misma distribución en las estadísticas bayesianas, si se toma un prior de Jeffreys invariante de reescalado no informativo para las probabilidades previas de y . [9] En este contexto, una distribución F escalada da la probabilidad posterior, donde las sumas observadas y ahora se toman como conocidos.
- Si y son independientes , entonces
- Si ( Distribución gamma ) son independientes, entonces
- Si ( Distribución beta ) entonces
- De manera equivalente, si , luego .
- Si , luego tiene una distribución beta prime :.
- Si luego tiene la distribución chi-cuadrado
- es equivalente a la distribución T-cuadrada de Hotelling escalada .
- Si luego .
- Si - Distribución t de Student - entonces:
- La distribución F es un caso especial de distribución de Pearson de tipo 6
- Si y son independientes, con Laplace ( μ , b ) entonces
- Si luego ( Distribución z de Fisher )
- La distribución F no central se simplifica a la distribución F si.
- La distribución F doblemente no central se simplifica a la distribución F si
- Si es el cuantil p para y es el cuantil por , luego
- La distribución F es una instancia de distribuciones de razón
Ver también
- Distribución beta prime
- Distribución chi-cuadrado
- Prueba de comida
- Distribución gamma
- Distribución T cuadrado de Hotelling
- Distribución lambda de Wilks
- Distribución Wishart
Referencias
- ^ Lazo, AV; Rathie, P. (1978). "Sobre la entropía de distribuciones de probabilidad continuas". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . IEEE. 24 (1): 120-122. doi : 10.1109 / tit.1978.1055832 .
- ^ a b Johnson, Norman Lloyd; Samuel Kotz; N. Balakrishnan (1995). Distribuciones univariadas continuas, volumen 2 (segunda edición, sección 27) . Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
- ^ a b c Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 26" . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 946. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Señor 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ NIST (2006). Manual de estadísticas de ingeniería - Distribución F
- ^ Estado de ánimo, Alexander; Franklin A. Graybill; Duane C. Boes (1974). Introducción a la Teoría de la Estadística (Tercera ed.). McGraw-Hill. págs. 246–249. ISBN 0-07-042864-6.
- ^ Taboga, Marco. "La distribución F" .
- ^ Phillips, PCB (1982) "La verdadera función característica de la distribución F", Biometrika , 69: 261-264 JSTOR 2335882
- ^ MH DeGroot (1986), Probabilidad y estadística (2ª edición), Addison-Wesley. ISBN 0-201-11366-X , pág. 500
- ^ GEP Box y GC Tiao (1973), Inferencia bayesiana en análisis estadístico , Addison-Wesley. pag. 110
enlaces externos
- Tabla de valores críticos de la distribución F
- Usos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: la entrada sobre distribución F contiene una breve historia
- Calculadora gratuita para F -testing