Icosidodecaedro | Figura de vértice representada como 3.5.3.5 o (3.5) 2 |
En geometría , una configuración de vértice [1] [2] [3] [4] es una notación abreviada para representar la figura del vértice de un poliedro o mosaico como la secuencia de caras alrededor de un vértice. Para poliedros uniformes, solo hay un tipo de vértice y, por lo tanto, la configuración de vértice define completamente el poliedro. ( Los poliedros quirales existen en pares de imágenes en espejo con la misma configuración de vértice).
Una configuración de vértice se da como una secuencia de números que representan el número de lados de las caras que rodean el vértice. La notación " abc " describe un vértice que tiene 3 caras alrededor de él, se enfrenta con un , b , y c lados.
Por ejemplo, "3.5.3.5" indica un vértice que pertenece a 4 caras, alternando triángulos y pentágonos . Esta configuración de vértice define el icosidodecaedro transitivo de vértice . La notación es cíclica y, por lo tanto, es equivalente con diferentes puntos de partida, por lo que 3.5.3.5 es lo mismo que 5.3.5.3. El orden es importante, por lo que 3.3.5.5 es diferente de 3.5.3.5. (El primero tiene dos triángulos seguidos de dos pentágonos). Los elementos repetidos se pueden recopilar como exponentes, por lo que este ejemplo también se representa como (3.5) 2 .
Se ha llamado de diversas formas una descripción de vértice , [5] [6] [7] tipo de vértice , [8] [9] símbolo de vértice , [10] [11] disposición de vértice , [12] patrón de vértice , [13] cara- vector . [14] También se le llama un símbolo de Cundy y Rollett por su uso para los sólidos de Arquímedes en su libro Modelos Matemáticos de 1952 . [15] [16] [17]
Figuras de vértice
Una configuración de vértice también se puede representar como una figura de vértice poligonal que muestra las caras alrededor del vértice. Esta figura de vértice tiene una estructura tridimensional ya que las caras no están en el mismo plano para los poliedros, pero para los poliedros uniformes de vértice todos los vértices vecinos están en el mismo plano, por lo que esta proyección plana se puede utilizar para representar visualmente la configuración del vértice. .
Variaciones y usos
{3,3} = 3 3 Defecto 180 ° | {3,4} = 3 4 Defecto 120 ° | {3,5} = 3 5 Defecto 60 ° | {3,6} = 3 6 |
{4,3} Defecto 90 ° | {4,4} = 4 4 | {5,3} = 5 3 Defecto 36 ° | {6,3} = 6 3 |
Un vértice necesita al menos 3 caras y un defecto de ángulo . Un defecto de ángulo de 0 ° llenará el plano euclidiano con un mosaico regular. Según el teorema de Descartes , el número de vértices es 720 ° / defecto (4π radianes / defecto ). |
Se utilizan diferentes notaciones, a veces con una coma (,) y a veces un punto (.) Como separador. El operador de período es útil porque parece un producto y se puede usar una notación exponencial. Por ejemplo, 3.5.3.5 a veces se escribe como (3.5) 2 .
La notación también se puede considerar una forma expansiva del símbolo simple de Schläfli para poliedros regulares . La notación de Schläfli { p , q } significa q p -gones alrededor de cada vértice. Entonces { p , q } se puede escribir como ppp .. ( q veces) op q . Por ejemplo, un icosaedro es {3,5} = 3.3.3.3.3 o 3 5 .
Esta notación se aplica tanto a los mosaicos poligonales como a los poliedros. Una configuración de vértice plano denota un mosaico uniforme al igual que una configuración de vértice no plano denota un poliedro uniforme.
La notación es ambigua para las formas quirales . Por ejemplo, el cubo de desaire tiene formas en sentido horario y antihorario que son idénticas en imágenes de espejo. Ambos tienen una configuración de vértice 3.3.3.3.4.
Polígonos estrella
La notación también se aplica a las caras regulares no convexas, los polígonos en estrella . Por ejemplo, un pentagrama tiene el símbolo {5/2}, lo que significa que tiene 5 lados que rodean el centro dos veces.
Por ejemplo, hay 4 poliedros en estrella regulares con polígono regular o figuras de vértice de polígono en estrella. El pequeño dodecaedro estrellado tiene el símbolo de Schläfli de {5 / 2,5} que se expande a una configuración de vértice explícita 5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2.5 / 2 o combinado como (5/2) 5 . El gran dodecaedro estrellado , {5 / 2,3} tiene una figura y configuración de vértice triangular (5 / 2.5 / 2.5 / 2) o (5/2) 3 . El gran dodecaedro , {5,5 / 2} tiene una figura de vértice pentagrammic, con una configuración de vértice es (5.5.5.5.5) / 2 o (5 5 ) / 2. Un gran icosaedro , {3,5 / 2} también tiene una figura de vértice pentagrammic, con configuración de vértice (3.3.3.3.3) / 2 o (3 5 ) / 2.
{5 / 2,5} = (5/2) 5 | {5 / 2,3} = (5/2) 3 | 3 4 .5 / 2 | 3 4 .5 / 3 | (3 4 .5 / 2) / 2 |
---|---|---|---|---|
{5,5 / 2} = (5 5 ) / 2 | {3,5 / 2} = (3 5 ) / 2 | V.3 4 .5 / 2 | V3 4 .5 / 3 | V (3 4 .5 / 2) / 2 |
Polígonos invertidos
Se considera que las caras de una figura de vértice progresan en una dirección. Algunos poliedros uniformes tienen figuras de vértice con inversiones donde las caras progresan retrógradas. Una figura de vértice representa esto en la notación poligonal en estrella de lados p / q tal que p <2 q , donde p es el número de lados yq el número de vueltas alrededor de un círculo. Por ejemplo, "3/2" significa un triángulo que tiene vértices que giran dos veces, lo que equivale a una vez hacia atrás. De manera similar, "5/3" es un pentagrama al revés 5/2.
Todas las configuraciones de vértices uniformes de polígonos convexos regulares
Los poliedros semirregulares tienen configuraciones de vértice con defecto de ángulo positivo .
NOTA: La figura del vértice puede representar un mosaico regular o semirregular en el plano si su defecto es cero. Puede representar un mosaico del plano hiperbólico si su defecto es negativo.
Para poliedros uniformes, el defecto del ángulo se puede utilizar para calcular el número de vértices. El teorema de Descartes establece que todos los defectos angulares en una esfera topológica deben sumar 4 π radianes o 720 grados.
Dado que los poliedros uniformes tienen todos los vértices idénticos, esta relación nos permite calcular el número de vértices, que es 4 π / defecto o 720 / defecto .
Ejemplo: un cubo truncado 3.8.8 tiene un defecto de ángulo de 30 grados. Por tanto, tiene 720/30 = 24 vértices.
En particular, se deduce que { a , b } tiene 4 / (2 - b (1 - 2 / a )) vértices.
Cada configuración de vértice enumerada define potencialmente de forma única un poliedro semirregular. Sin embargo, no todas las configuraciones son posibles.
Los requisitos topológicos limitan la existencia. Específicamente, pqr implica que un p -gon está rodeado por q -gones y r -gones alternados, por lo que p es par oq es igual a r . De manera similar, q es par op es igual a r , y r es par op es igual a q . Por lo tanto, los triples potencialmente posibles son 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4. n (para cualquier n > 2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. De hecho, resultan existir todas estas configuraciones con tres caras que se encuentran en cada vértice.
El número entre paréntesis es el número de vértices, determinado por el defecto del ángulo.
- Triples
- Sólidos platónicos 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
- prismas 3.4.4 (6), 4.4.4 (8; también enumerados anteriormente), 4.4. n (2 n )
- Sólidos de Arquímedes 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60) .
- embaldosado regular 6.6.6
- mosaicos semirregulares 3.12.12 , 4.6.12 , 4.8.8
- Cuádruples
- Sólido platónico 3.3.3.3 (6)
- antiprismas 3.3.3.3 (6; también enumerados anteriormente), 3.3.3. n (2 n )
- Sólidos de Arquímedes 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
- mosaico regular 4.4.4.4
- mosaicos semirregulares 3.6.3.6 , 3.4.6.4
- Quíntuples
- Sólido platónico 3.3.3.3.3 (12)
- Sólidos de Arquímedes 3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (ambos quirales )
- mosaicos semirregulares 3.3.3.3.6 (quiral), 3.3.3.4.4 , 3.3.4.3.4 (tenga en cuenta que los dos órdenes diferentes de los mismos números dan dos patrones diferentes)
- Séxtuples
- mosaico regular 3.3.3.3.3.3
Configuración de la cara
Los sólidos uniformes duales o catalanes , incluidas las bipirámides y los trapezoedros , son verticalmente regulares ( transitivos de caras ) y, por lo tanto, pueden identificarse mediante una notación similar que a veces se denomina configuración de caras . [3] Cundy y Rollett prefijo estos dos símbolos por una V . En contraste, Tilings and Patterns usa corchetes alrededor del símbolo para mosaicos isoédricos.
Esta notación representa un recuento secuencial del número de caras que existen en cada vértice alrededor de una cara . [18] Por ejemplo, V3.4.3.4 o V (3.4) 2 representa el dodecaedro rómbico que es transitivo por caras: cada cara es un rombo y los vértices alternos del rombo contienen 3 o 4 caras cada uno.
Notas
- ^ Solución uniforme para poliedros uniformes Archivado el 27 de noviembre de 2015 en la Wayback Machine (1993)
- ^ El poliedro uniforme Roman E. Maeder (1995)
- ^ a b Cristalografía de cuasicristales: conceptos, métodos y estructuras de Walter Steurer, Sofia Deloudi, (2009) págs. 18-20 y 51-53
- ^ Metalurgia física: conjunto de 3 volúmenes, volumen 1 editado por David E. Laughlin, (2014) págs. 16-20
- ^ Poliedros de Arquímedes Steven Dutch
- ^ Poliedros uniformes Jim McNeill
- ^ Poliedros uniformes y sus dobles Robert Webb
- ^ Gráficos de tipo simetría de sólidos platónicos y de Arquímedes , Jurij Kovič, (2011)
- ^ 3. Teoremas generales: Tilings regulares y semi-regulares Kevin Mitchell, 1995
- ^ Recursos para la enseñanza de matemáticas discretas: proyectos de aula, historia, módulos y artículos, editado por Brian Hopkins
- ^ Símbolo del vértice Robert Whittaker
- ^ Estructura y forma en el diseño: ideas críticas para la práctica creativa por Michael Hann
- ^ Gráficos de tipo simetría de sólidos platónicos y de Arquímedes Jurij Kovič
- ^ Deza, Michel; Shtogrin, Mikhail (1999). "Particiones uniformes de 3 espacios, sus parientes e incrustación" . arXiv : matemáticas / 9906034 . Bibcode : 1999math ...... 6034D . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Weisstein, Eric W. "Arquímedes sólido" . MathWorld .
- ^ Esferas divididas: geodésicas y la subdivisión ordenada de la esfera 6.4.1 Símbolo de Cundy-Rollett, p. 164
- ^ Laughlin (2014), p. dieciséis
- ^ Cundy y Rollett (1952)
Referencias
- Cundy, H. y Rollett, A., Modelos matemáticos (1952), (3ª edición, 1989, Stradbroke, Inglaterra: Tarquin Pub.), 3.7 The Archimedean Polyhedra . Páginas. 101-115, págs. 118-119 Tabla I, Redes de arquimedianos duales, V. a . b . c ... como símbolos verticales regulares .
- Peter Cromwell, Polyhedra , Cambridge University Press (1977) Los sólidos de Arquímedes. Páginas. 156-167.
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. Utiliza el símbolo de Cundy-Rollett.
- Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.Páginas. 58–64, Mosaicos de polígonos regulares abc ... (Mosaicos por polígonos regulares y polígonos en estrella) págs. 95–97, 176, 283, 614–620, Símbolo de mosaico monoédrico [v 1 .v 2 . ... .v r ]. págs. 632–642 embaldosados huecos.
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (p. 289 Figuras de vértice, utiliza un separador de coma, para sólidos y teselados de Arquímedes).
enlaces externos
- Descripciones de vértices coherentes Stella (software) , Robert Webb