Azulejos triangulares | |
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Tipo | Azulejos regulares |
Configuración de vértice | 3.3.3.3.3.3 (o 3 6 ) |
Configuración de la cara | V6.6.6 (o V6 3 ) |
Símbolo (s) de Schläfli | {3,6} {3 [3] } |
Símbolo (s) de Wythoff | 6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3 |
Diagrama (s) de Coxeter | = |
Simetría | p6m , [6,3], (* 632) |
Simetría de rotación | p6 , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333) |
Doble | Azulejos hexagonales |
Propiedades | Vértice-transitivo , borde-transitivo , cara-transitivo |
En geometría , el mosaico triangular o la teselación triangular es uno de los tres mosaicos regulares del plano euclidiano , y es el único mosaico de este tipo donde las formas constituyentes no son paralelogones . Debido a que el ángulo interno del triángulo equilátero es de 60 grados, seis triángulos en un punto ocupan 360 grados completos. El mosaico triangular tiene el símbolo de Schläfli de {3,6}.
Conway lo llama deltille , llamado así por la forma triangular de la letra griega delta (Δ). El mosaico triangular también se puede llamar kishextille mediante una operación kis que agrega un punto central y triángulos para reemplazar las caras de un hextille .
Es uno de los tres mosaicos regulares del avión . Los otros dos son el mosaico cuadrado y el mosaico hexagonal .
Colorantes uniformes
Hay 9 colores uniformes distintos de un mosaico triangular. (Nombrar los colores por índices en los 6 triángulos alrededor de un vértice: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Tres de ellos pueden derivarse de otros repitiendo colores: 111212 y 111112 de 121213 por combinando 1 y 3, mientras que 111213 se reduce de 121314. [1]
Hay una clase de colorantes de Arquímedes , 111112, (marcada con un *) que no es uniforme 1, que contiene filas alternas de triángulos donde cada tercio está coloreado. El ejemplo que se muestra es 2-uniforme, pero hay infinitos colores de Arquímedes que pueden crearse mediante cambios horizontales arbitrarios de las filas.
111111 | 121212 | 111222 | 112122 | 111112 (*) |
p6m (* 632) | p3m1 (* 333) | cmm (2 * 22) | p2 (2222) | p2 (2222) |
121213 | 111212 | 111112 | 121314 | 111213 |
p31m (3 * 3) | p3 (333) |
Empaquetaduras de celosía y círculo A2
La disposición del vértice del mosaico triangular se llama celosía A 2 . [2] Es el caso bidimensional de un panal simplectico .
La A*
2 celosía (también llamada A3
2) se puede construir mediante la unión de las tres celosías A 2 , y es equivalente a la celosía A 2 .
- + + = dual de =
Los vértices del mosaico triangular son los centros del empaquetamiento circular más denso posible . [3] Cada círculo está en contacto con otros 6 círculos en el embalaje ( número de besos ). La densidad de empaque es π ⁄ √ 12 o 90.69%. La celda voronoi de un mosaico triangular es un hexágono , por lo que el mosaico voronoi , el mosaico hexagonal, tiene una correspondencia directa con los empaques circulares.
Variaciones geométricas
Los mosaicos triangulares se pueden hacer con la topología {3,6} equivalente a la del mosaico regular (6 triángulos alrededor de cada vértice). Con caras idénticas ( cara-transitividad ) y vértice-transitividad , hay 5 variaciones. La simetría dada asume que todas las caras son del mismo color. [4]
Simetría del triángulo escaleno p2
Simetría pmg del triángulo escalenoTriángulo isósceles
cmm simetríaTriángulo rectángulo
cmm simetría
Simetría del triángulo equilátero p6m
Poliedros y teselados relacionados
Las teselaciones planas están relacionadas con los poliedros . Poner menos triángulos en un vértice deja un espacio y permite que se doble en una pirámide . Estos se pueden expandir a sólidos platónicos : cinco, cuatro y tres triángulos en un vértice definen un icosaedro , un octaedro y un tetraedro, respectivamente.
Este mosaico está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros regulares con los símbolos de Schläfli {3, n}, que continúan en el plano hiperbólico .
* n 32 mutación de simetría de teselaciones regulares: {3, n } | |||||||||||
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Esférico | Euclides. | Hiper compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
También se relaciona topológicamente como parte de la secuencia de sólidos catalanes con configuración de cara Vn.6.6, y también continúa en el plano hiperbólico.
V3.6.6 | V4.6.6 | V5.6.6 | V6.6.6 | V7.6.6 |
Construcciones Wythoff a partir de mosaicos hexagonales y triangulares.
Al igual que los poliedros uniformes, hay ocho mosaicos uniformes que pueden basarse en el mosaico hexagonal regular (o el mosaico triangular dual).
Al dibujar los mosaicos de color rojo en las caras originales, amarillo en los vértices originales y azul a lo largo de los bordes originales, hay 8 formas, 7 que son topológicamente distintas. (El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).
Azulejos uniformes hexagonales / triangulares | ||||||||
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Dominios fundamentales | Simetría : [6,3], (* 632) | [6,3] + , (632) | ||||||
{6,3} | t {6,3} | r {6,3} | t {3,6} | {3,6} | rr {6,3} | tr {6,3} | sr {6,3} | |
Config. | 6 3 | 3.12.12 | (6,3) 2 | 6.6.6 | 3 6 | 3.4.6.4 | 4.6.12 | 3.3.3.3.6 |
Azulejos de simetría triangular | |||||||||||
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Wythoff | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 | 3 3 | 3 3 | 3 | 3 3 3 | | | 3 3 3 | |||
Coxeter | |||||||||||
Figura de vértice de imagen | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | (3.3) 3 | 3.6.3.6 | 6.6.6 | 3.3.3.3.3.3 |
Apeirogons complejos regulares relacionados
Hay 4 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico triangular. Los apeirogones complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los ápices regulares p { q } r están restringidos por: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Los bordes tienen p vértices y las figuras de los vértices son r -gonales. [5]
El primero está hecho de 2 bordes, los dos siguientes son bordes triangulares y el último tiene bordes hexagonales superpuestos.
2 {6} 6 o | 3 {4} 6 o | 3 {6} 3 o | 6 {3} 6 o |
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Otros mosaicos triangulares
También hay tres mosaicos Laves hechos de un solo tipo de triángulos:
Kisrhombille 30 ° -60 ° -90 ° triángulos rectángulos | Kisquadrille 45 ° -45 ° -90 ° triángulos rectángulos | Kisdeltile 30 ° -30 ° -120 ° triángulos isósceles |
Ver también
- Nido de abeja de baldosas triangulares
- Panal simplectic
- Mosaicos de polígonos regulares
- Lista de mosaicos uniformes
- Isogrid (diseño estructural con baldosas triangulares)
Referencias
- ^ Azulejos y patrones, p.102-107
- ^ http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html
- ↑ Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, patrón 1
- ^ Azulejos y patrones, de la lista de 107 azulejos isoédricos, p.473-481
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 111-112, p. 136.
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Tabla II: Panales regulares
- Grünbaum, Branko y Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.(Capítulo 2.1: Azulejos regulares y uniformes , pág. 58-65, Capítulo 2.9 Colorantes de Arquímedes y Uniformes págs. 102-107)
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. p35
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 [1]
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Cuadrícula triangular" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselado regular" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Teselado uniforme" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Azulejos euclidianos 2D x3o6o - trat - O2" .
Espacio | Familia | / / | ||||
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E 2 | Azulejos uniformes | {3 [3] } | δ 3 | hδ 3 | qδ 3 | Hexagonal |
E 3 | Nido de abeja convexo uniforme | {3 [4] } | δ 4 | hδ 4 | qδ 4 | |
E 4 | Uniforme de 4 panales | {3 [5] } | δ 5 | hδ 5 | qδ 5 | Panal de 24 celdas |
E 5 | Uniforme de 5 panales | {3 [6] } | δ 6 | hδ 6 | qδ 6 | |
E 6 | Uniforme de 6 panales | {3 [7] } | δ 7 | hδ 7 | qδ 7 | 2 22 |
E 7 | Uniforme de 7 panales | {3 [8] } | δ 8 | hδ 8 | qδ 8 | 1 33 • 3 31 |
E 8 | Uniforme de 8 panal | {3 [9] } | δ 9 | hδ 9 | qδ 9 | 1 52 • 2 51 • 5 21 |
E 9 | Uniforme de 9 panales | {3 [10] } | δ 10 | hδ 10 | qδ 10 | |
E 10 | Uniforme de 10 panal | {3 [11] } | δ 11 | hδ 11 | qδ 11 | |
E n -1 | Uniforme ( n -1) - panal | {3 [n] } | δ n | hδ n | qδ n | 1 k2 • 2 k1 • k 21 |