morfismo plano

En matemáticas , en particular en la teoría de esquemas en geometría algebraica , un morfismo plano f de un esquema X a un esquema Y es un morfismo tal que el mapa inducido en cada tallo es un mapa plano de anillos, es decir,

es un mapa plano para todo P en X. [1] Un mapa de anillos se llama plano si es un homomorfismo que hace que B sea un módulo A plano . Un morfismo de esquemas se llama fielmente plano si es a la vez sobreyectivo y plano. [2]

El primero de ellos proviene del álgebra conmutativa : sujeto a algunas condiciones de finitud en f , se puede demostrar que existe un subesquema abierto no vacío de Y , tal que f restringida a Y ′ es un morfismo plano ( planitud genérica ). Aquí 'restricción' se interpreta por medio del producto de fibra de esquemas , aplicado a f y el mapa de inclusión de en Y.

Para el segundo, la idea es que los morfismos en la geometría algebraica pueden exhibir discontinuidades del tipo que se detectan por planitud. Por ejemplo, la operación de soplar hacia abajo en la geometría birracional de una superficie algebraica puede dar una sola fibra que es de dimensión 1 cuando todas las demás tienen dimensión 0. Resulta (retrospectivamente) que la planitud en los morfismos está directamente relacionada con el control este tipo de semicontinuidad , o salto unilateral.

Los morfismos planos se utilizan para definir (más de una versión de) el topos plano y la cohomología plana de las poleas a partir de él. Esta es una teoría profunda y no ha resultado fácil de manejar. El concepto de morfismo étale (y, por lo tanto, cohomología étale ) depende del concepto de morfismo plano: un morfismo étale es plano, de tipo finito y no ramificado .

y tensor por el módulo que representa nuestro esquema dando la secuencia de -módulos