Coordenadas de Fermi

Coordenadas locales que se adaptan a una geodésica

En la teoría matemática de la geometría de Riemann , hay dos usos del término coordenadas de Fermi . En un uso son coordenadas locales que se adaptan a una geodésica . ^[1] En una segunda, más general, son coordenadas locales que se adaptan a cualquier línea del mundo , incluso no geodésica.^[2]

Tome ^[3] una curva temporal dirigida hacia el futuro , siendo el tiempo adecuado en el espacio-tiempo . Suponga que es el punto inicial de .${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle M}$${\displaystyle p=\gamma (0)}$${\displaystyle \gamma }$

Las coordenadas de Fermi adaptadas a se construyen de esta manera.${\displaystyle \gamma }$

Considere una base ortonormal de con paralelo a .${\displaystyle TM}$${\displaystyle e_{0}}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

El transporte de la base a lo largo haciendo uso de transporte de Fermi-Walker . La base en cada punto sigue siendo ortonormal con paralelo ay no rota (en un sentido preciso relacionado con la descomposición de las transformaciones de Lorentz en transformaciones y rotaciones puras) con respecto a la base inicial, este es el significado físico de Fermi-Walker. transporte.${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=0,1,2,3}}$${\displaystyle \gamma (\tau )}$${\displaystyle \{e_{a}(\tau )\}_{a=0,1,2,3}}$${\displaystyle \gamma (\tau )}$${\displaystyle e_{0}(\tau )}$${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Finalmente, construya un sistema de coordenadas en un tubo abierto , una vecindad de , que emita todas las geodésicas espaciales a través del vector tangente inicial , para cada .${\displaystyle T}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma (\tau )}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau )}$${\displaystyle \tau }$

Un punto tiene coordenadas donde es el único vector cuya geodésica asociada alcanza el valor de su parámetro y es la única vez que existe esta extensión geodésica .${\displaystyle q\in T}$${\displaystyle \tau (q),v^{1}(q),v^{2}(q),v^{3}(q)}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}v^{i}e_{i}(\tau (q))}$${\displaystyle q}$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle \tau (q)}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle q}$

Si en sí mismo es una geodésica, entonces el transporte de Fermi-Walker se convierte en el transporte paralelo estándar y las coordenadas de Fermi se convierten en coordenadas estándar de Riemann adaptadas . En este caso, usando estas coordenadas en un vecindario de , tenemos , todos los símbolos de Christoffel se desvanecen exactamente en . Sin embargo, esta propiedad no es válida para las coordenadas de Fermi cuando no es una geodésica. Estas coordenadas se denominan coordenadas de Fermi y llevan el nombre del físico italiano Enrico Fermi . Las propiedades anteriores solo son válidas en la geodésica. Por ejemplo, si todos los símbolos de Christoffel desaparecen cerca , entonces el colector es plano cerca .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=0}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Ver también

• Marco de referencia adecuado (espacio-tiempo plano) # Coordenadas adecuadas o coordenadas de Fermi
• Coordenadas normales geodésicas
• Transporte Fermi-Walker
• Símbolos de Christoffel
• Coordenadas isotermas

Referencias

1. Manasse y Misner [1] , Coordenadas normales de Fermi y algunos conceptos básicos en geometría diferencial . Revista de Física Matemática 4: 6, 1963.
2. K.-P. Marzlin, "Sobre el significado físico de las coordenadas de Fermi", [2] .
3. V.Moretti, discusión sobre [3]

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