En matemáticas , específicamente en geometría diferencial , las coordenadas isotérmicas en una variedad de Riemann son coordenadas locales donde la métrica es conforme a la métrica euclidiana . Esto significa que en coordenadas isotérmicas, la métrica de Riemann tiene localmente la forma
dónde es una función suave . (Si la variedad de Riemann está orientada, algunos autores insisten en que un sistema de coordenadas debe estar de acuerdo con esa orientación para ser isotérmico).
Las coordenadas isotérmicas en las superficies fueron introducidas por primera vez por Gauss . Korn y Lichtenstein demostraron que existen coordenadas isotérmicas alrededor de cualquier punto de una variedad riemanniana bidimensional. En las variedades riemannianas de dimensiones superiores, una condición necesaria y suficiente para su existencia local es la desaparición del tensor de Weyl y del tensor de Cotton .
Coordenadas isotérmicas en superficies
Gauss (1822) demostró la existencia de coordenadas isotérmicas en una superficie arbitraria con una métrica analítica real, siguiendo los resultados de Lagrange (1779) sobre superficies de revolución. Los resultados de las métricas continuas de Hölder fueron obtenidos por Korn (1916) y Lichtenstein (1916) . Relatos posteriores fueron dadas por Morrey (1938) , Ahlfors (1955) , Bers (1952) y Chern (1955) . Una cuenta especialmente sencilla usando el operador de estrella Hodge se da en DETURCK y Kazdan (1981) .
Ecuación de Beltrami
La existencia de coordenadas isotérmicas puede demostrarse [1] aplicando teoremas de existencia conocidos para la ecuación de Beltrami , que se basan en estimaciones de L p para operadores integrales singulares de Calderón y Zygmund . [2] [3] Más recientemente, Adrien Douady ha dado un enfoque más simple a la ecuación de Beltrami . [4]
Si la métrica de Riemann se da localmente como
luego, en la coordenada compleja z = x + i y , toma la forma
donde λ y μ son suaves con λ> 0 y | μ | <1. De hecho
En coordenadas isotérmicas ( u , v ) la métrica debe tomar la forma
con ρ> 0 suave. La coordenada compleja w = u + i v satisface
de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas si la ecuación de Beltrami
tiene una solución difeomórfica. Se ha demostrado que esta solución existe en cualquier vecindario donde || μ || ∞ <1.
Operador estrella Hodge
Nuevas coordenadas U y V se proporcionan isotérmica que
dónde es el operador estrella de Hodge definido por la métrica. [5]
Dejar ser el operador de Laplace – Beltrami en funciones.
Entonces, según la teoría elíptica estándar, se puede elegir que u sea armónico cerca de un punto dado, es decir, Δ u = 0, con du sin desaparecer. [5] [6]
- De hecho, dado que el problema es local, es suficiente describir una solución en el toro T 2 dotado de una métrica de Riemann. En este caso, Δ f = g se puede resolver cerca de 0 con valores iniciales dados f (0), df (0).
- Esto se puede demostrar usando los espacios L 2 Sobolev H s ( T 2 ) para s ≥ 0. [7] Estos espacios de Hilbert se pueden definir en términos de Δ y la estructura de Riemann, pero son independientes de estas estructuras. De ello se deduce que I + Δ da un isomorfismo lineal de H s +2 ( T 2 ) sobre H s ( T 2 ) y que Δ f = g se puede resolver si y solo si g es ortogonal a las constantes. Por otro lado, las técnicas estándar implican un teorema de aproximación: [8] las funciones suaves que desaparecen en la vecindad de un punto son densas en H s ( T 2 ) para s ≤ 1 (para el método de demostración, ver más abajo).
- En particular, la densidad implica que para cualquier s > 0 pequeño hay funciones suaves g iguales a 0 cerca de 1, ortogonales a las constantes en H s ( T 2 ) tales que las funciones f = ∆ −1 g son densas en el subespacio de H s +2 ( T 2 ) ortogonal a las constantes. Por regularidad elíptica, estos f son suaves. Según el teorema de inclusión de Sobolev, H s +2 ( T 2 ) se encuentra en C 1 ( T 2 ); La densidad en el espacio de Sobolev implica que f (0), df (0) toman todos los valores posibles, como se afirma.
- El teorema de aproximación anterior se puede demostrar usando los mismos métodos que el resultado unidimensional correspondiente: las funciones suaves que desaparecen en la vecindad de un punto son densas en H s ( T ) para s ≤ 1/2. Por simplicidad, solo se describirá este caso. Es suficiente probar esto para el punto 1 en el círculo unitario T . Por Cayley transformada entre el círculo y la línea real, funciones de fuga a fin infinita en 1 en C ∞ ( T ) pueden ser identificados con S ( R ), el espacio de las funciones de Schwartz en R . Las funciones suaves de soporte compacto son densas en S ( R ); y por lo tanto A el espacio de funciones suaves que desaparecen en una vecindad de 1 en C ∞ ( T ) es denso en el espacio de funciones suaves que desaparecen con todas sus derivadas en 1. Según el teorema de Stone-Weierstrass , A es uniformemente denso en C 0 ( T \ {1}). Así, si h mentiras en B , el ideal en C 1 ( T ) de las funciones de fuga con su derivada en 1, h y h' pueden ser uniformemente aproximada por una función en A . Por lo tanto A es denso en B . Por otro lado, C 1 ( T ) está en H s ( T ) si s ≤ 1/2. Para demostrar que A es denso en H s ( T ), basta con mostrar que contiene funciones a n (θ}}) y b n (θ) que tienden a cero en la norma de Sobolev con a n (0) = 0 desapareciendo en 1 y ∂ θ a n (0) = 1; y b n (0) = 1 ad ∂ θ b n (0) = 0. funciones adecuados son un n (θ) = sen n θ / n y b n (θ) = c n (θ) / c n (0 ) donde c n (θ) = ∑ (1 - n −1 ) k cos k θ / k log k }}. [9]
Por el lema de Poincaré tiene una solución local v exactamente cuando.
Desde
esto es equivalente a Δ u = 0, y por lo tanto existe una solución local.
Desde du no es cero y el cuadrado de la estrella operador Hodge es -1 en 1-formas, du y dv son necesariamente linealmente independientes, y por lo tanto u y v dar coordenadas isotérmicas locales.
Curvatura gaussiana
En las coordenadas isotérmicas ( u , v ), la curvatura gaussiana toma la forma más simple
Ver también
Notas
- ^ Imayoshi y Taniguchi 1992 , págs. 20-21
- ↑ Ahlfors , 1966 , págs. 85-115.
- ^ Imayoshi y Taniguchi 1992 , págs. 92-104
- ^ Douady y Buff 2000
- ↑ a b DeTurck y Kazdan, 1981 ; Taylor 1996 , págs. 377–378
- ^ Para una prueba alternativa utilizando la teoría del potencial y los operadores integrales singulares , consulte Bers, John & Schechter 1979 , pp. 228-230
- ^ Ver:
- Bers, John y Schechter 1979
- Warner 1983
- Taylor 1996
- ^ Hörmander 1990
- ↑ Zygmund, 2002
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1952), "Conformalidad con respecto a las métricas de Riemann", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I , 206 : 1–22
- Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre asignaciones cuasiconformales , Van Nostrand
- Bers, Lipman (1952), Riemann Surfaces, 1951–1952 , Universidad de Nueva York, págs. 15–35
- Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Ecuaciones diferenciales parciales , Lectures in Applied Mathematics, 3A , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0049-3
- Chern, Shiing-shen (1955), "Una prueba elemental de la existencia de parámetros isotérmicos en una superficie", Proc. Amer. Matemáticas. Soc. , American Mathematical Society, 6 (5): 771–782, doi : 10.2307 / 2032933 , JSTOR 2032933
- DeTurck, Dennis M .; Kazdan, Jerry L. (1981), "Algunos teoremas de regularidad en la geometría de Riemann" , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 14 (3): 249-260, doi : 10.24033 / asens.1405 , ISSN 0012- 9593 , MR 0644518.
- do Carmo, Manfredo (1976), Geometría diferencial de curvas y superficies , Prentice Hall, ISBN 0-13-212589-7
- Douady, Adrien ; Buff, X. (2000), Le théorème d'intégrabilité des structure presque complexes. [Teorema de integrabilidad para estructuras casi complejas] , London Mathematical Society Lecture Note Series, 274 , Cambridge University Press, págs. 307–324
- Gauss, CF (1822), On Conformal Representation , traductor Evans, HP, págs. 463–475
- Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I, Teoría de distribución y análisis de Fourier , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 256 (Segunda ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52345-6
- Imayoshi, Y .; Taniguchi, M. (1992), Introducción a los espacios de Teichmüller , Springer-Verlag, ISBN 0-387-70088-9
- Korn, A. (1916), Zwei Anwendungen der Methode der sukzessiven Annäherungen , Schwarz Abhandlungen, págs. 215–219
- Lagrange, J. (1779), Sur la construction des cartes géographiques
- Lichtenstein, L. (1916), "Zur Theorie der konformen Abbildung", Bull. En t. Acad. Sci. Cracovie Cl. Sci. Matemáticas. Nat. Sér. A : 192–217
- Morrey, Charles B. (1938), "Sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasi-lineales", Trans. Amer. Matemáticas. Soc. , American Mathematical Society, 43 (1): 126–166, doi : 10.2307 / 1989904 , JSTOR 1989904
- Spivak, Michael , A Comprehensive Introduction to Differential Geometry , 4 (3 ed.), Publish or Perish, págs. 314–346
- Taylor, Michael E. (1996), Ecuaciones diferenciales parciales: teoría básica , Springer-Verlag, págs. 376–378, ISBN 0-387-94654-3
- Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, 94 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90894-3
enlaces externos
- "Coordenadas isotérmicas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]