El fractal de la palabra Fibonacci es una curva fractal definida en el plano de la palabra Fibonacci .
Definición
Esta curva se construye iterativamente aplicando, a la palabra Fibonacci 0100101001001 ... etc., La regla de dibujo de pares e impares:
Para cada dígito en la posición k :
- Dibujar un segmento hacia adelante
- Si el dígito es 0:
- Gire 90 ° a la izquierda si k es par
- Gire 90 ° a la derecha si k es impar
A una palabra de Fibonacci de longitud (el n- ésimo número de Fibonacci ) está asociado a una curva hecho de segmentos. La curva muestra tres aspectos diferentes si n tiene la forma 3 k , 3 k + 1 o 3 k + 2.
Propiedades
Algunas de las propiedades de la palabra fractal de Fibonacci incluyen: [2] [3]
- La curva , contiene segmentos, ángulos rectos y ángulos planos.
- La curva nunca se auto-interseca y no contiene puntos dobles. En el límite, contiene una infinidad de puntos asintóticamente cercanos.
- La curva presenta auto-semejanzas en todas las escalas. La relación de reducción es. Este número, también llamado proporción de plata, está presente en una gran cantidad de propiedades que se enumeran a continuación.
- El número de auto-semejanzas en el nivel n es un número de Fibonacci \ −1. (más precisamente :).
- La curva encierra una infinidad de estructuras cuadradas de tamaños decrecientes en una proporción . (ver figura) El número de esas estructuras cuadradas es un número de Fibonacci .
- La curva también se puede construir de diferentes maneras (ver galería a continuación):
- Sistema de funciones iteradas de 4 y 1 homotecia de razón y
- Uniendo las curvas y
- Sistema Lindenmayer
- Mediante una construcción iterada de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
- Por una construcción iterada de octágonos
- La dimensión de Hausdorff de la palabra fractal de Fibonacci es, con , la proporción áurea .
- Generalizando a un ángulo entre 0 y , su dimensión de Hausdorff es , con .
- La dimensión de Hausdorff de su frontera es .
- Al intercambiar los roles de "0" y "1" en la palabra Fibonacci, o en la regla de dibujo, se obtiene una curva similar, pero orientada a 45 °.
- A partir de la palabra Fibonacci, se puede definir la «palabra Fibonacci densa», en un alfabeto de 3 letras: 102210221102110211022102211021102110221022102211021 ... ((secuencia A143667 en la OEIS )). El uso, en esta palabra, de una regla de dibujo más simple, define un conjunto infinito de variantes de la curva, entre las cuales:
- una "variante diagonal"
- una "variante svastika"
- una "variante compacta"
- Se conjetura que la palabra fractal de Fibonacci aparece para cada palabra sturmian para la cual la pendiente, escrita en expansión de fracción continua , termina con una serie infinita de "1".
Galería
Curva después iteraciones.
Auto-semejanzas a diferentes escalas.
Dimensiones.
Construcción por yuxtaposición (1)
Construcción por yuxtaposición (2)
Construcción por supresión iterada de patrones cuadrados.
Construcción por octágonos iterados.
Construcción por colección iterada de 8 patrones cuadrados alrededor de cada patrón cuadrado.
Con un ángulo de 60 °.
Inversión de "0" y "1".
Variantes generadas a partir de la densa palabra Fibonacci.
La "variante pi / 8"
El azulejo de Fibonacci
La yuxtaposición de cuatro Curves permite la construcción de una curva cerrada que encierra una superficie cuya área no es nula. Esta curva se llama "Mosaico de Fibonacci".
- La teja de Fibonacci casi teja el avión. La yuxtaposición de 4 fichas (ver ilustración) deja en el centro un cuadrado libre cuya área tiende a cero cuando k tiende a infinito. En el límite, la baldosa de Fibonacci infinita teja el plano.
- Si la ficha está encerrada en un {Aclaración} un cuadrado del lado 1, entonces su área tiende a .
Copo de nieve de Fibonacci
El copo de nieve de Fibonacci es una loseta de Fibonacci definida por: [5]
- Si
- de lo contrario.
con y , "girar a la izquierda" et "girar a la derecha" y ,
Varias propiedades notables: [5] · : [6]
- Es la loseta de Fibonacci asociada a la "variante diagonal" previamente definida.
- Azotea el avión en cualquier orden.
- Coloca el plano en mosaico por traslación de dos formas diferentes.
- su perímetro, en el orden n , es igual a. es el n- ésimo número de Fibonacci .
- su área, en el orden n , sigue los índices sucesivos de la fila impar de la secuencia de Pell (definida por).
Ver también
Referencias
- ↑ Ramírez, José L .; Rubiano, Gustavo N. (2014). " Propiedades y generalizaciones del fractal de la palabra de Fibonacci ", The Mathematical Journal , vol. dieciséis.
- ^ Monnerot-Dumaine, Alexis (febrero de 2009). " La palabra fractal de Fibonacci ", independiente ( hal.archives-ouvertes.fr ).
- ^ Hoffman, Tyler; Steinhurst, Benjamin (2016). "Dimensión de Hausdorff de fractales de palabra de Fibonacci generalizados". arXiv : 1601.04786 [ math.MG ].
- ^ Ramírez, Rubiano y De Castro (2014). " Una generalización de la palabra fractal de Fibonacci y el copo de nieve de Fibonacci ", Informática Teórica , Vol. 528, p. 40-56. [1]
- ↑ a b Blondin-Massé, Alexandre; Brlek, Srečko; Garon, Ariane; y Labbé, Sébastien (2009). " Azulejos de Christoffel y Fibonacci ", Notas de la conferencia en Ciencias de la Computación: Geometría discreta para imágenes de computadora , p.67-8. Saltador. ISBN 9783642043963 .
- ^ A. Blondin-Massé, S. Labbé, S. Brlek, M. Mendès-France (2010). " Snowfalkes de Fibonacci ". [ enlace muerto ]
enlaces externos
- " Generar una palabra fractal de Fibonacci ", OnlineMathTools.com .