En matemáticas , un álgebra filtrada es una generalización de la noción de álgebra graduada . Los ejemplos aparecen en muchas ramas de las matemáticas , especialmente en el álgebra homológica y la teoría de la representación .
Un álgebra filtrada sobre el campo es un álgebra encima que tiene una secuencia creciente de subespacios de tal que
y que sea compatible con la multiplicación en el siguiente sentido:
Álgebra graduada asociada
En general, existe la siguiente construcción que produce un álgebra graduada a partir de un álgebra filtrada.
Si es un álgebra filtrada, entonces el álgebra graduada asociada se define de la siguiente manera:
- Como espacio vectorial
dónde,
- y
- la multiplicación está definida por
para todos y . (Más precisamente, el mapa de multiplicación se combina de los mapas
La multiplicación está bien definida y dota con la estructura de un álgebra graduada, con gradación Además si es asociativo entonces también lo es. También si es unital, de modo que la unidad se encuentra en , luego será unital también.
Como álgebras y son distintos (con la excepción del caso trivial de que está graduado) pero como espacios vectoriales son isomorfos . [ cita requerida ]
Ejemplos de
Cualquier álgebra calificada calificada por ℕ, por ejemplo, tiene una filtración dada por .
Un ejemplo de álgebra filtrada es el álgebra de Clifford. de un espacio vectorial dotado de una forma cuadrática El álgebra graduada asociada es , el álgebra exterior de
El álgebra simétrica en el dual de un espacio afín es un álgebra filtrada de polinomios; en un espacio vectorial , se obtiene en cambio un álgebra graduada.
El álgebra envolvente universal de un álgebra de mentira también se filtra naturalmente. El teorema PBW establece que el álgebra graduada asociada es simplemente.
Operadores diferenciales escalares en un colector forman un álgebra filtrada donde la filtración viene dada por el grado de operadores diferenciales. El álgebra graduada asociada es el álgebra conmutativa de funciones suaves en el paquete cotangente que son polinomios a lo largo de las fibras de la proyección .
El álgebra de grupo de un grupo con una función de longitud es un álgebra filtrada.
Ver también
Referencias
- Abe, Eiichi (1980). Álgebras de Hopf . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-22240-0.
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